Considere a função
dada por
A função
é contínua em
? Justifique sua resposta.
A função
Passo 1
Vamos analisar se a função
definida por
é contínua em todo o conjunto dos números reais
. Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade de funções e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se:
-
está definido. - O limite de
quando se aproxima de existe. - O limite de
quando se aproxima de é igual a .
Passo 3
Para todos os pontos
, a função
é composta por funções contínuas (o seno é contínuo e o polinômio
também é contínuo). Portanto, em qualquer ponto diferente de zero,
é contínua.
Passo 4
O ponto crítico é
. Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Primeiro, observamos que
, então o primeiro critério de continuidade está satisfeito.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0:
Sabemos que para qualquer valor de
,
está entre -1 e 1. Logo:
Multiplicando todos os termos por
:
Passo 6
Como
tende a 0 quando
tende a 0, pelo Teorema do Confronto (Sandwich Theorem), temos:
Isso significa que o limite de
quando
se aproxima de 0 é igual a
.
Resposta
A função
é contínua em todo o conjunto dos números reais
.
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