Considere a função f: R -> R dada por f(x) = { x^2 sen(1/x), se x ≠ 0 | 0, se x = 0 }
A função f é contínua em R ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos analisar se a função definida por
é contínua em todo o conjunto dos números reais . Para isso, vamos utilizar conceitos de continuidade de funções e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se:
  1. está definido.
  2. O limite de quando se aproxima de existe.
  3. O limite de quando se aproxima de é igual a .

Passo 3

Para todos os pontos , a função é composta por funções contínuas (o seno é contínuo e o polinômio também é contínuo). Portanto, em qualquer ponto diferente de zero, é contínua.

Passo 4

O ponto crítico é . Precisamos verificar se a função é contínua nesse ponto. Primeiro, observamos que , então o primeiro critério de continuidade está satisfeito.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0:
Sabemos que para qualquer valor de , está entre -1 e 1. Logo:
Multiplicando todos os termos por :

Passo 6

Como tende a 0 quando tende a 0, pelo Teorema do Confronto (Sandwich Theorem), temos:
Isso significa que o limite de quando se aproxima de 0 é igual a .

Resposta

A função é contínua em todo o conjunto dos números reais .

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