Encontre o valor exato das quatro primeiras somas parciais, encontre a forma fechada para a enésima soma parcial e determine se a série converge. Se ela convergir, determine sua soma.
sumk=1^infty(4)^k-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente encontrar os valores das quatro primeiras somas parciais de uma série, a fórmula geral para a enésima soma parcial, e verificar se a série converge. A série que temos é uma série geométrica, que é quando cada termo é uma constante multiplicada pela potência de uma razão fixa. Nesse caso, a razão é 4. Vamos precisar usar a fórmula das somas parciais de uma série geométrica pra resolver tudo isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira soma parcial (S₁). Isso significa somar o primeiro termo da série.
S1 = 4^1-1 = 4^0 = 1
Então, S₁ = 1.

Passo 3

Agora, vamos para a segunda soma parcial (S₂). Somamos os dois primeiros termos da série.
S2 = 4^0 + 4^1 = 1 + 4 = 5
Então, S₂ = 5.

Passo 4

Vamos continuar com a terceira soma parcial (S₃), que é a soma dos três primeiros termos.
S3 = 4^0 + 4^1 + 4^2 = 1 + 4 + 16 = 21
Assim, S₃ = 21.

Passo 5

Finalmente, a quarta soma parcial (S₄) envolve os quatro primeiros termos.
S4 = 4^0 + 4^1 + 4^2 + 4^3 = 1 + 4 + 16 + 64 = 85
Portanto, S₄ = 85.

Passo 6

Vamos agora encontrar a forma fechada para a enésima soma parcial (Sₙ). Em uma série geométrica, a soma dos n primeiros termos é dada por:
Sn = r^n - 1r - 1
Onde Sn = 4^n - 14 - 1 = 4^n - 13 é a razão da série. No nosso caso, , então:

Passo 7

Por último, vamos determinar se a série converge. Uma série geométrica converge se o valor absoluto da razão for menor que 1. Aqui, , então , que é maior que 1. Isso significa que a série não converge, ou seja, ela diverge.

Resposta

  • As quatro primeiras somas parciais são:
    • Sn = 4^n - 13
  • A forma fechada para a enésima soma parcial é:
  • A série não converge porque a razão é maior que 1.

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