Considere a série tal que os termos são definidos recursivamente pelas equações
a1=2 an-1=5 n+14 n+3 an
Determine se sum an converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série a1 = 2 e an-1 = 5n + 14n + 3 cdot an converge ou diverge, onde os termos da série são definidos assim:
Aqui, estamos lidando com séries numéricas e uma sequência definida recursivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos se comportam conforme cresce e aplicar um teste de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a relação recursiva para termos futuros em função dos anteriores. A equação dada é:
an-1 = 5n + 14n + 3 cdot an
Vamos isolar an = 4n + 35n + 1 cdot an-1 :
Isso nos mostra como cada termo está relacionado ao termo anterior .

Passo 3

Para analisar a convergência da série, vamos utilizar o Teste da Razão, que é útil para séries onde os termos são definidos recursivamente. O teste da razão diz que, se:
L = limn to infty | an+1an |
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular essa razão para a nossa sequência. Usando a relação que encontramos:
an+1 = 4(n+1) + 35(n+1) + 1 cdot an = 4n + 75n + 6 cdot an
Portanto,
an+1an = 4n + 75n + 6

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando L = limn to infty 4n + 75n + 6 tende ao infinito:
L = limn to infty 4 + 7n5 + 6n = 4 + 05 + 0 = 45 = 0,8
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por :

Passo 6

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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