Considere a série tal que os termos são definidos recursivamente pelas equações
Determine se converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série converge ou diverge, onde os termos da série são definidos assim:
Aqui, estamos lidando com séries numéricas e uma sequência definida recursivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos se comportam conforme cresce e aplicar um teste de convergência, como o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a relação recursiva para termos futuros em função dos anteriores. A equação dada é:
Vamos isolar :
Isso nos mostra como cada termo está relacionado ao termo anterior .
Passo 3
Para analisar a convergência da série, vamos utilizar o Teste da Razão, que é útil para séries onde os termos são definidos recursivamente. O teste da razão diz que, se:
Se , a série converge absolutamente.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 4
Vamos calcular essa razão para a nossa sequência. Usando a relação que encontramos:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por :
Passo 6
Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.