Considere a série tal que os termos são definidos recursivamente pelas equações
Determine se converge ou diverge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar se a série converge ou diverge, onde os termos da série são definidos assim:
Aqui, estamos lidando com séries numéricas e uma sequência definida recursivamente. Para resolver isso, vamos precisar entender como os termos se comportam conforme cresce e aplicar um teste de convergência, como o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a relação recursiva para termos futuros em função dos anteriores. A equação dada é:
Vamos isolar :
Isso nos mostra como cada termo está relacionado ao termo anterior .

Passo 3

Para analisar a convergência da série, vamos utilizar o Teste da Razão, que é útil para séries onde os termos são definidos recursivamente. O teste da razão diz que, se:
  • Se , a série converge absolutamente.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 4

Vamos calcular essa razão para a nossa sequência. Usando a relação que encontramos:
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Para simplificar, dividimos numerador e denominador por :

Passo 6

Como , de acordo com o Teste da Razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série converge.

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