Considere a função dada por:
© Usando o Teorema de Fourier, determine como e para quais valores a série acima converge todos os pontos
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função
definida no intervalo
e com
. A ideia é usar o Teorema de Fourier para descobrir onde a série de Fourier dessa função converge. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de séries de Fourier, como elas são construídas e quais são os critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. Essencialmente, qualquer função periódica razoável pode ser escrita como uma soma infinita de senos e cossenos. No nosso caso,
é periódica com período
. A série de Fourier irá decompor essa função em uma combinação de ondas senoidais e cossenoidais.
Passo 3
Para construir a série de Fourier, precisamos calcular os coeficientes
,
e
, que são as médias ponderadas das funções base (senos e cossenos) sobre o intervalo. As fórmulas são:
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Agora, calculamos
:
Para resolver essa integral, usamos integração por partes onde
e
. Após os cálculos, descobrimos que
para todos os
.
Passo 6
Vamos calcular
:
Usando integração por partes novamente, com
e
, encontramos que:
Passo 7
Com os coeficientes encontrados, a série de Fourier da função
é:
Passo 8
Agora, para determinar onde essa série converge, usamos o Teorema de Fourier. Segundo o teorema, a série de Fourier converge para
em todos os pontos onde
é contínua. Nos pontos de descontinuidade, como
, a série converge para a média dos limites pela esquerda e pela direita.
Passo 9
No nosso caso,
é contínua em todo o intervalo
e tem uma descontinuidade em
. Portanto, a série de Fourier converge para
em
e para
em
.
Resposta
A série de Fourier da função
converge para
em todo ponto
do intervalo
e converge para
no ponto
.