Considere a função dada por:
f:[0,2 pi] & x & mapstol x, se 0 <= x<2 pi 0, se x=2 pi
© Usando o Teorema de Fourier, determine como e para quais valores a série acima converge todos os pontos x in R ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função definida no intervalo e com . A ideia é usar o Teorema de Fourier para descobrir onde a série de Fourier dessa função converge. Para isso, vamos precisar entender conceitos básicos de séries de Fourier, como elas são construídas e quais são os critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série de Fourier. Essencialmente, qualquer função periódica razoável pode ser escrita como uma soma infinita de senos e cossenos. No nosso caso, é periódica com período . A série de Fourier irá decompor essa função em uma combinação de ondas senoidais e cossenoidais.

Passo 3

Para construir a série de Fourier, precisamos calcular os coeficientes a0 = 12pi integral0^2pi f(x) , dx , an = 1pi integral0^2pi f(x) cos(nx) , dx e bn = 1pi integral0^2pi f(x) sin(nx) , dx , que são as médias ponderadas das funções base (senos e cossenos) sobre o intervalo. As fórmulas são:

Passo 4

Calculando a0 = 12pi integral0^2pi x , dx = 12pi [ x^22 ]0^2pi = 12pi cdot (2pi)^22 = 2pi2 = pi :

Passo 5

Agora, calculamos an = 1pi integral0^2pi x cos(nx) , dx :
Para resolver essa integral, usamos integração por partes onde e . Após os cálculos, descobrimos que para todos os .

Passo 6

Vamos calcular bn = 1pi integral0^2pi x sin(nx) , dx :
bn = -2n
Usando integração por partes novamente, com e , encontramos que:

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, a série de Fourier da função f(x) = pi - 2 sumn=1^infty 1n sin(nx) é:

Passo 8

Agora, para determinar onde essa série converge, usamos o Teorema de Fourier. Segundo o teorema, a série de Fourier converge para em todos os pontos onde é contínua. Nos pontos de descontinuidade, como , a série converge para a média dos limites pela esquerda e pela direita.

Passo 9

No nosso caso, é contínua em todo o intervalo e tem uma descontinuidade em . Portanto, a série de Fourier converge para em e para em .

Resposta

A série de Fourier da função converge para em todo ponto do intervalo e converge para no ponto .

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