Considere a função dada por:
f:[0,2 pi] & x & mapstol x, se 0 <= x<2 pi 0, se x=2 pi
(a) Determine uma lei de formação para a extensão periódica de f e esboce seu gráfico;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida no intervalo que mapeia cada para ele mesmo, exceto quando , onde . O conteúdo da matéria envolve funções periódicas. Para resolver, vamos precisar entender como estender esta função para todo o domínio dos números reais de forma periódica.

Passo 2

Uma função periódica repete seus valores em intervalos regulares. A “lei de formação” para a extensão periódica de significa que precisamos definir a função para todos os usando a periodicidade.

Passo 3

Sabemos que o período dado é . Isso significa que para qualquer inteiro , . Então, para qualquer , podemos encontrar um tal que esteja no intervalo .

Passo 4

A fórmula geral para a extensão periódica fica assim:
fp(x) = f(x mod 2pi)
Onde é o resto da divisão de por , garantindo que esteja sempre em .

Passo 5

Portanto, a lei de formação para a extensão periódica de fp(x) = x - 2kpi, & se x - 2kpi < 2pi 0, & se x - 2kpi = 2pi é:
Onde é o maior inteiro tal que .

Passo 6

Para esboçar o gráfico, trace múltiplos intervalos de e replique o comportamento da função original em cada intervalo.

Resposta

A lei de formação para a extensão periódica de fp(x) = x - 2kpi, & se x - 2kpi < 2pi 0, & se x - 2kpi = 2pi é:
Onde é o maior inteiro tal que .

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