Considere a função dada por:
(a) Determine uma lei de formação para a extensão periódica de
e esboce seu gráfico;
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
que mapeia cada
para ele mesmo, exceto quando
, onde
. O conteúdo da matéria envolve funções periódicas. Para resolver, vamos precisar entender como estender esta função para todo o domínio dos números reais de forma periódica.
Passo 2
Uma função periódica repete seus valores em intervalos regulares. A “lei de formação” para a extensão periódica de
significa que precisamos definir a função para todos os
usando a periodicidade.
Passo 3
Sabemos que o período dado é
. Isso significa que para qualquer inteiro
,
. Então, para qualquer
, podemos encontrar um
tal que
esteja no intervalo
.
Passo 4
A fórmula geral para a extensão periódica fica assim:
Onde
é o resto da divisão de
por
, garantindo que
esteja sempre em
.
Passo 5
Portanto, a lei de formação para a extensão periódica de
é:
Onde
é o maior inteiro tal que
.
Passo 6
Para esboçar o gráfico, trace múltiplos intervalos de
e replique o comportamento da função original
em cada intervalo.
Resposta
A lei de formação para a extensão periódica de
é:
Onde
é o maior inteiro tal que
.
Exercícios relacionados
Considere a função dada por:
© Usando o Teorema de Fourier, determine como e para quais valores a série acima converge todos os pontos
?
Considere a função dada por:
(b) Determine a série de Fourier de
;
Determinar os valores de
para os quais
tem solução da forma
.
Sabendo que a EDO
possui como solução
, determine a solução do PVI associado, cuja condição inicial é dada por
.