Determinar os valores de para os quais tem solução da forma .

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar os valores de para os quais a equação diferencial tem solução da forma , onde . Vamos usar conceitos de equações diferenciais e substituir a forma proposta na equação para encontrar os valores de que satisfazem a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de .
A primeira derivada de em relação a é:
A segunda derivada é:

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Substituindo:

Passo 4

Vamos fatorar da equação:
Como não é zero para , podemos igualar o termo entre colchetes a zero:

Passo 5

Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes dos termos com potências iguais de devem ser zero. Observamos que os termos possuem diferentes potências de : , e . Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Analisando o sistema:
  • Da primeira equação: implica ou .
  • A segunda equação já nos dá .
  • A terceira equação é impossível.

Passo 6

A contradicação na terceira equação ( ) indica que não existe nenhum valor de que possa satisfazer todas as condições simultaneamente. Ou seja, não há valores de que tornem uma solução válida para a equação diferencial dada em todo o domínio .

Resposta

Não existem valores de para os quais seja uma solução da equação diferencial para todo .

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