Determinar os valores de para os quais tem solução da forma .
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos determinar os valores de para os quais a equação diferencial tem solução da forma , onde . Vamos usar conceitos de equações diferenciais e substituir a forma proposta na equação para encontrar os valores de que satisfazem a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas primeira e segunda de .
A primeira derivada de em relação a é:
A segunda derivada é:
Passo 3
Agora, substituímos , e na equação diferencial original:
Substituindo:
Passo 4
Vamos fatorar da equação:
Como não é zero para , podemos igualar o termo entre colchetes a zero:
Passo 5
Para que essa equação seja válida para todo , os coeficientes dos termos com potências iguais de devem ser zero. Observamos que os termos possuem diferentes potências de : , e . Portanto, temos o seguinte sistema de equações:
Analisando o sistema:
Da primeira equação: implica ou .
A segunda equação já nos dá .
A terceira equação é impossível.
Passo 6
A contradicação na terceira equação () indica que não existe nenhum valor de que possa satisfazer todas as condições simultaneamente. Ou seja, não há valores de que tornem uma solução válida para a equação diferencial dada em todo o domínio .
Resposta
Não existem valores de para os quais seja uma solução da equação diferencial para todo .