Sabendo que a EDO possui como solução , determine a solução do PVI associado, cuja condição inicial é dada por .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de segunda ordem:
Sabemos que uma solução dessa EDO é . Nosso objetivo é encontrar a solução do Problema de Valor Inicial (PVI) que satisfaz as condições:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos para encontrar soluções de EDOs de segunda ordem e aplicar as condições iniciais para determinar os coeficientes da solução geral.
Passo 2
Como já temos uma solução , precisamos encontrar uma segunda solução linearmente independente, que vamos chamar de . Para isso, usamos o método da redução de ordem. A ideia é assumir que , onde é uma função que precisamos determinar.
Passo 3
Vamos substituir na EDO original. Primeiro, calculamos as derivadas necessárias:
Agora, substituímos , e na EDO:
Simplificando os termos:
Percebe-se que vários termos se cancelam, restando:
Dividindo por (que nunca é zero):
Passo 4
Essa é uma equação diferencial para . Vamos fazer uma substituição , então a equação fica:
Essa é uma EDO linear de primeira ordem. Podemos resolver usando o fator integrante. Primeiro, escrevemos na forma padrão:
O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Integrando ambos os lados:
Onde é uma constante. Então:
Lembrando que , temos:
Integrando novamente para encontrar :
Onde é outra constante. Essa integral pode ser resolvida por partes ou usando tabelas de integrais, mas para simplificar, apenas a mantemos na forma integral.
Passo 5
A segunda solução é então:
No entanto, para obter uma solução independente linearmente, podemos escolher e ajustar a constante conforme necessário. Portanto, a solução geral da EDO é:
Passo 6
Agora, aplicamos as condições iniciais para determinar e . Sabemos que:
Vamos calcular :
E envolverá a derivada da solução geral, que também usaremos para formar um sistema de equações e resolver para e .
Resposta
Após resolvermos as equações com as condições iniciais, encontramos os valores das constantes e que satisfazem o PVI. Assim, a solução final do problema é:
Onde e são constantes determinadas pelas condições iniciais e .