Considere a função dada por
.
Valor: 15 pontos
(a) Determine o domínio de
.
(b) Sabendo que
é bijetora, determine sua inversa
.
Valor: 15 pontos
(a) Determine o domínio de
(b) Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
. A matéria aqui envolve funções logarítmicas e propriedades das funções bijetoras. Vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como encontrar a função inversa quando ela é bijetora.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar o domínio da função
. O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de
para os quais a função está definida. Para funções logarítmicas, o argumento dentro do logaritmo deve ser maior que zero, porque o logaritmo de números não positivos não está definido.
Então, temos:
Resolvendo essa desigualdade:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). A função
é bijetora, o que significa que ela é injetora (cada valor de
corresponde a um único
) e sobrejetora (todos os possíveis valores de
são atingidos). Isso garante que a função inversa existe.
Para encontrar a inversa
, vamos seguir esses passos:
- Substituímos
por : - Troca de variáveis para encontrar a inversa:
Isso não está correto. Na verdade, precisamos isolar .
Vamos corrigir:
- Começamos com:
- Reescrevemos em forma exponencial para isolar
: - Agora, isolamos
:
Então, a função inversa é:
Resposta
(a) O domínio de
é
.
(b) A função inversa é
.