Considere a função dada por f(x) = log_3(x + 2).
Valor: 15 pontos
(a) Determine o domínio de f.
(b) Sabendo que f é bijetora, determine sua inversa f^-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função . A matéria aqui envolve funções logarítmicas e propriedades das funções bijetoras. Vamos precisar entender o que é o domínio de uma função e como encontrar a função inversa quando ela é bijetora.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da função . O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de para os quais a função está definida. Para funções logarítmicas, o argumento dentro do logaritmo deve ser maior que zero, porque o logaritmo de números não positivos não está definido.
Então, temos:
Resolvendo essa desigualdade:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). A função é bijetora, o que significa que ela é injetora (cada valor de corresponde a um único ) e sobrejetora (todos os possíveis valores de são atingidos). Isso garante que a função inversa existe.
Para encontrar a inversa , vamos seguir esses passos:
  1. Substituímos por :
  2. Troca de variáveis para encontrar a inversa: Isso não está correto. Na verdade, precisamos isolar .
Vamos corrigir:
  1. Começamos com:
  2. Reescrevemos em forma exponencial para isolar :
  3. Agora, isolamos :
Então, a função inversa é:

Resposta

(a) O domínio de é .
(b) A função inversa é .

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