Sabendo que para x>1, f(x) satisfaz (x-1)^2<(x^2-1) cdot f(x)<(x+1)^2, calcule lim x +infty f(x).

Passo 1

Beleza, então a questão diz que para todo , a função tá entre e , tudo isso multiplicado por . A gente precisa encontrar o limite de quando vai para o infinito. Vamos usar o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Compressão) da matéria de limites para resolver isso. Basicamente, a gente vai manipular essa desigualdade pra isolar e ver pra onde ela tende.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir toda a desigualdade por (x-1)^2x^2 - 1 < f(x) < (x+1)^2x^2 - 1 pra deixar sozinho no meio. Lembrando que é positivo pra , então a ordem da desigualdade não muda:

Passo 3

Agora, vamos expandir os quadrados no numerador:
(x-1)^2 = x^2 - 2x + 1 (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
Substituindo isso na desigualdade, fica:
x^2 - 2x + 1x^2 - 1 < f(x) < x^2 + 2x + 1x^2 - 1

Passo 4

Pra facilitar o cálculo do limite, vamos dividir numerador e denominador de cada fração por 1 - 2x + 1x^21 - 1x^2 < f(x) < 1 + 2x + 1x^21 - 1x^2 :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de cada parte quando limx to +infty 1 - 2x + 1x^21 - 1x^2 = 1 - 0 + 01 - 0 = 1 limx to +infty 1 + 2x + 1x^21 - 1x^2 = 1 + 0 + 01 - 0 = 1 tende ao infinito. Sabemos que e vão pra zero:

Passo 6

Pelo Teorema do Sandwich, já que limx to +infty f(x) = 1 tá presa entre duas funções que ambas têm limite 1, o limite de também é 1:

Resposta

limx to +infty f(x) = 1

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