Sabendo que para
satisfaz
, calcule
.
Passo 1
Beleza, então a questão diz que para todo
, a função
tá entre
e
, tudo isso multiplicado por
. A gente precisa encontrar o limite de
quando
vai para o infinito. Vamos usar o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Compressão) da matéria de limites para resolver isso. Basicamente, a gente vai manipular essa desigualdade pra isolar
e ver pra onde ela tende.
Passo 2
Primeiro, vamos dividir toda a desigualdade por
pra deixar
sozinho no meio. Lembrando que
é positivo pra
, então a ordem da desigualdade não muda:
Passo 3
Agora, vamos expandir os quadrados no numerador:
Substituindo isso na desigualdade, fica:
Passo 4
Pra facilitar o cálculo do limite, vamos dividir numerador e denominador de cada fração por
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de cada parte quando
tende ao infinito. Sabemos que
e
vão pra zero:
Passo 6
Pelo Teorema do Sandwich, já que
tá presa entre duas funções que ambas têm limite 1, o limite de
também é 1:
Resposta
Exercícios relacionados
Em cada item abaixo, determine as derivadas.
Valor: 30 pontos
(a)
(b)
©
Valor: 30 pontos
(a)
(b)
©
Considere a função dada por
.
Valor: 15 pontos
(a) Determine o domínio de .
(b) Sabendo que é bijetora, determine sua inversa
.
Valor: 15 pontos
(a) Determine o domínio de
(b) Sabendo que
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites: