Sabendo que para satisfaz , calcule .

Passo 1

Beleza, então a questão diz que para todo , a função tá entre e , tudo isso multiplicado por . A gente precisa encontrar o limite de quando vai para o infinito. Vamos usar o Teorema do Sandwich (ou Teorema da Compressão) da matéria de limites para resolver isso. Basicamente, a gente vai manipular essa desigualdade pra isolar e ver pra onde ela tende.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir toda a desigualdade por pra deixar sozinho no meio. Lembrando que é positivo pra , então a ordem da desigualdade não muda:

Passo 3

Agora, vamos expandir os quadrados no numerador:
Substituindo isso na desigualdade, fica:

Passo 4

Pra facilitar o cálculo do limite, vamos dividir numerador e denominador de cada fração por :

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de cada parte quando tende ao infinito. Sabemos que e vão pra zero:

Passo 6

Pelo Teorema do Sandwich, já que tá presa entre duas funções que ambas têm limite 1, o limite de também é 1:

Resposta

Exercícios relacionados

Em cada item abaixo, determine as derivadas.
Valor: 30 pontos
(a)
(b)
©
Considere a função dada por .
Valor: 15 pontos
(a) Determine o domínio de .
(b) Sabendo que é bijetora, determine sua inversa .
Calcule os seguintes limites:
Calcule os seguintes limites: