Considere a função dada por . Determine o conjunto dos pontos onde não é diferenciável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente olhar a função e descobrir em quais pontos ela não é diferenciável. Isso está relacionado com o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender onde a função pode ter “esquinas” ou “pontas”, que são os lugares que geralmente não são diferenciáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa a função . Essa função pega a soma de e e calcula o valor absoluto desse resultado. O valor absoluto pode criar pontos onde a função muda de comportamento, especialmente quando a expressão dentro dele é zero, porque é aí que ocorre uma “virada” na função.

Passo 3

Sabemos que a função valor absoluto não é diferenciável quando , porque nesse ponto a função muda de inclinação abruptamente. Aplicando isso à nossa função, a não diferenciabilidade ocorre quando . Então, precisamos encontrar todos os pontos que satisfazem essa equação.

Passo 4

Vamos resolver a equação para encontrar os pontos problemáticos. Isolando , temos:
Isso representa uma reta no plano , onde para qualquer valor de , o valor de é exatamente o oposto. Em todos esses pontos, a função não será diferenciável porque a soma será zero.

Resposta

O conjunto dos pontos onde não é diferenciável é a reta definida por .

Exercícios relacionados

Exemplo de função em que : Considere a função
Prove que:
, para .
Considere a função . Determine o plano tangente ao gráfico de no ponto .
O modelo de Von Bertalanffy para crescimento de peixes estabelece que o aumento do peso do peixe é proporcional à área de sua superfície externa (anabolismo) e o decaimento é proposrcional à energia consumida (catabolismo). Este modelo é descrito pela equação diferencial autônoma
onde e são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
b) Para cada condição inicial estude o comportamento da solução quando .
Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada. , onde é um polinômio qualquer e .