Considere a função dada por
. Determine o conjunto dos pontos onde
não é diferenciável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente olhar a função
e descobrir em quais pontos ela não é diferenciável. Isso está relacionado com o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender onde a função pode ter “esquinas” ou “pontas”, que são os lugares que geralmente não são diferenciáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa a função
. Essa função pega a soma de
e
e calcula o valor absoluto desse resultado. O valor absoluto pode criar pontos onde a função muda de comportamento, especialmente quando a expressão dentro dele é zero, porque é aí que ocorre uma “virada” na função.
Passo 3
Sabemos que a função valor absoluto
não é diferenciável quando
, porque nesse ponto a função muda de inclinação abruptamente. Aplicando isso à nossa função, a não diferenciabilidade ocorre quando
. Então, precisamos encontrar todos os pontos
que satisfazem essa equação.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para encontrar os pontos problemáticos. Isolando
, temos:
Isso representa uma reta no plano
, onde para qualquer valor de
, o valor de
é exatamente o oposto. Em todos esses pontos, a função
não será diferenciável porque a soma
será zero.
Resposta
O conjunto dos pontos onde
não é diferenciável é a reta definida por
.