Considere a função dada por
. Determine o conjunto dos pontos onde
não é diferenciável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente olhar a função
e descobrir em quais pontos ela não é diferenciável. Isso está relacionado com o conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente sobre diferenciabilidade de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos precisar entender onde a função pode ter “esquinas” ou “pontas”, que são os lugares que geralmente não são diferenciáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa a função
. Essa função pega a soma de
e
e calcula o valor absoluto desse resultado. O valor absoluto pode criar pontos onde a função muda de comportamento, especialmente quando a expressão dentro dele é zero, porque é aí que ocorre uma “virada” na função.
Passo 3
Sabemos que a função valor absoluto
não é diferenciável quando
, porque nesse ponto a função muda de inclinação abruptamente. Aplicando isso à nossa função, a não diferenciabilidade ocorre quando
. Então, precisamos encontrar todos os pontos
que satisfazem essa equação.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para encontrar os pontos problemáticos. Isolando
, temos:
Isso representa uma reta no plano
, onde para qualquer valor de
, o valor de
é exatamente o oposto. Em todos esses pontos, a função
não será diferenciável porque a soma
será zero.
Resposta
O conjunto dos pontos onde
não é diferenciável é a reta definida por
.
Exercícios relacionados
Exemplo de função em que
: Considere a função
Prove que:
, para
.
Considere a função
. Determine o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
O modelo de Von Bertalanffy para crescimento de peixes estabelece que o aumento do peso do peixe é proporcional à área de sua superfície externa (anabolismo) e o decaimento é proposrcional à energia consumida (catabolismo). Este modelo é descrito pela equação diferencial autônoma
onde
e
são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
b) Para cada condição inicial estude o comportamento da solução
quando
.
b) Para cada condição inicial
Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada.
, onde
é um polinômio qualquer e
.