Exemplo de função em que partial^2 fpartial x partial y neq partial^2 fpartial y partial x : Considere a função
f(x, y)=l x y x^2-y^2x^2+y^2, se (x, y) neq(0,0) 0, se (x, y)=(0,0)
Prove que:
partial fpartial x(0, y)=-y, para y neq 0.

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo de derivadas parciais. O objetivo é provar que a derivada parcial de em relação a no ponto é igual a , onde . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar o limite de definição dessas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de partial fpartial x(a, b) = limh to 0 f(a+h, b) - f(a, b)h em relação a no ponto é o limite:
No nosso caso, queremos calcular , então vamos substituir e .

Passo 3

Substituindo na fórmula do limite, temos:
partial fpartial x(0, y) = limh to 0 f(0+h, y) - f(0, y)h = limh to 0 f(h, y) - f(0, y)h
Sabemos que porque pela definição da função, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar f(x, y) = x y x^2 - y^2x^2 + y^2 quando f(h, y) = h y h^2 - y^2h^2 + y^2 . A função dada é:
Substituindo :

Passo 5

Vamos substituir partial fpartial x(0, y) = limh to 0 h y h^2 - y^2h^2 + y^2 - 0h = limh to 0 y h^2 - y^2h^2 + y^2 na expressão do limite:

Passo 6

Agora, vamos simplificar o limite:
limh to 0 y h^2 - y^2h^2 + y^2 = y limh to 0 h^2 - y^2h^2 + y^2
Quando limh to 0 0 - y^20 + y^2 = -y^2y^2 = -1 tende a 0, também tende a 0. Portanto:

Resposta

Portanto,
partial fpartial x(0, y) = -y

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