Exemplo de função em que
: Considere a função
Prove que:
, para
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo de derivadas parciais. O objetivo é provar que a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é igual a
, onde
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar o limite de definição dessas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é o limite:
No nosso caso, queremos calcular
, então vamos substituir
e
.
Passo 3
Substituindo na fórmula do limite, temos:
Sabemos que
porque pela definição da função,
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
quando
. A função dada é:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos substituir
na expressão do limite:
Passo 6
Agora, vamos simplificar o limite:
Quando
tende a 0,
também tende a 0. Portanto:
Resposta
Portanto,
Exercícios relacionados
Considere a função
. Determine o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
A equação da onda
descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Por exemplo, se
representa o deslocamento da corda vibrante de violino no instante t e à distância x de uma das extremidades da corda (como na Figura 8), então
satisfaz a equação da onda. A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada nela. Verifique que a função
satisfaz a equação da onda.
Considere a função dada por
. Determine o conjunto dos pontos onde
não é diferenciável.
O modelo de Von Bertalanffy para crescimento de peixes estabelece que o aumento do peso do peixe é proporcional à área de sua superfície externa (anabolismo) e o decaimento é proposrcional à energia consumida (catabolismo). Este modelo é descrito pela equação diferencial autônoma
onde
e
são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
b) Para cada condição inicial estude o comportamento da solução
quando
.
b) Para cada condição inicial