Exemplo de função em que : Considere a função
Prove que:
, para .

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo de derivadas parciais. O objetivo é provar que a derivada parcial de em relação a no ponto é igual a , onde . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar o limite de definição dessas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de em relação a no ponto é o limite:
No nosso caso, queremos calcular , então vamos substituir e .

Passo 3

Substituindo na fórmula do limite, temos:
Sabemos que porque pela definição da função, .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar quando . A função dada é:
Substituindo :

Passo 5

Vamos substituir na expressão do limite:

Passo 6

Agora, vamos simplificar o limite:
Quando tende a 0, também tende a 0. Portanto:

Resposta

Portanto,

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onde e são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
b) Para cada condição inicial estude o comportamento da solução quando .