Exemplo de função em que
: Considere a função
Prove que:
, para
.
Passo 1
Vamos resolver um problema de cálculo de derivadas parciais. O objetivo é provar que a derivada parcial de
em relação a
no ponto
é igual a
, onde
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais e aplicar o limite de definição dessas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma derivada parcial. A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é o limite:
No nosso caso, queremos calcular
, então vamos substituir
e
.
Passo 3
Substituindo na fórmula do limite, temos:
Sabemos que
porque pela definição da função,
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar
quando
. A função dada é:
Substituindo
:
Passo 5
Vamos substituir
na expressão do limite:
Passo 6
Agora, vamos simplificar o limite:
Quando
tende a 0,
também tende a 0. Portanto:
Resposta
Portanto,