Considere a função
. Determine o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente relacionado a derivadas parciais e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e usar essas derivadas para montar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto dado
. Substituindo na função:
Sabemos que
, então:
Portanto, o ponto no gráfico é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral é:
Onde
é o ponto de tangência, que no nosso caso é
, e
.
Substituindo os valores:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é dado por: