Considere a função f(x, y) = 1 + arctg(x + y) + 0,3 * x^2 + y. Determine o plano tangente ao gráfico de f no ponto (1, -1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o plano tangente ao gráfico da função no ponto . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente relacionado a derivadas parciais e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de em relação a e , e usar essas derivadas para montar a equação do plano tangente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto dado . Substituindo na função:
Sabemos que , então:
Portanto, o ponto no gráfico é .

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
No ponto :
Derivada parcial em relação a :
No ponto :

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral é:
Onde é o ponto de tangência, que no nosso caso é , e .
Substituindo os valores:

Resposta

O plano tangente ao gráfico de no ponto é dado por:

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