Considere a função
. Determine o plano tangente ao gráfico de
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o plano tangente ao gráfico da função
no ponto
. Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Multivariável, mais especificamente relacionado a derivadas parciais e planos tangentes. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e usar essas derivadas para montar a equação do plano tangente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor da função no ponto dado
. Substituindo na função:
Sabemos que
, então:
Portanto, o ponto no gráfico é
.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Derivada parcial em relação a
:
No ponto
:
Passo 4
Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente. A fórmula geral é:
Onde
é o ponto de tangência, que no nosso caso é
, e
.
Substituindo os valores:
Resposta
O plano tangente ao gráfico de
no ponto
é dado por:
Exercícios relacionados
A equação da onda
descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Por exemplo, se
representa o deslocamento da corda vibrante de violino no instante t e à distância x de uma das extremidades da corda (como na Figura 8), então
satisfaz a equação da onda. A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada nela. Verifique que a função
satisfaz a equação da onda.
Seja
uma função de classe
e assuma que a função derivada parcial
é de classe
. Use o teorema de Clairaut-Schwarz para concluir que
Exemplo de função em que
: Considere a função
Prove que:
, para
.
Considere a função dada por
. Determine o conjunto dos pontos onde
não é diferenciável.