Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada.
, onde
é um polinômio qualquer e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Precisamos verificar se as seguintes funções são soluções dessa EDO:
-
, onde é um polinômio qualquer. -
.
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e substituir na EDO para ver se a igualdade é satisfeita.
Passo 2
Vamos começar verificando a primeira função:
Aqui,
é um polinômio qualquer. Primeiro, vamos calcular a derivada dessa função:
Agora, substituímos
e
na EDO:
A EDO exige que esse produto seja igual a 1:
No entanto, sabemos que o produto de um polinômio por sua derivada também resulta em um polinômio. A única maneira desse produto ser igual a 1 (uma constante) é se
for uma constante, ou seja, um polinômio de grau zero. Vamos verificar:
Se
, onde
é uma constante, então:
Substituindo na equação:
Portanto, não existe um polinômio
que satisfaça a EDO.
Passo 3
Agora, vamos verificar a segunda função:
Primeiro, calculamos a derivada dessa função:
Agora, substituímos
e
na EDO:
A EDO exige que esse produto seja igual a 1:
Essa igualdade nunca é verdadeira para valores reais de
, já que o lado esquerdo é negativo e o lado direito é positivo. Portanto,
também não é uma solução da EDO.
Resposta
Nenhuma das funções
e
são soluções da EDO
.