Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada.
, onde
é um polinômio qualquer e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Precisamos verificar se as seguintes funções são soluções dessa EDO:
-
, onde é um polinômio qualquer. -
.
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e substituir na EDO para ver se a igualdade é satisfeita.
Passo 2
Vamos começar verificando a primeira função:
Aqui,
é um polinômio qualquer. Primeiro, vamos calcular a derivada dessa função:
Agora, substituímos
e
na EDO:
A EDO exige que esse produto seja igual a 1:
No entanto, sabemos que o produto de um polinômio por sua derivada também resulta em um polinômio. A única maneira desse produto ser igual a 1 (uma constante) é se
for uma constante, ou seja, um polinômio de grau zero. Vamos verificar:
Se
, onde
é uma constante, então:
Substituindo na equação:
Portanto, não existe um polinômio
que satisfaça a EDO.
Passo 3
Agora, vamos verificar a segunda função:
Primeiro, calculamos a derivada dessa função:
Agora, substituímos
e
na EDO:
A EDO exige que esse produto seja igual a 1:
Essa igualdade nunca é verdadeira para valores reais de
, já que o lado esquerdo é negativo e o lado direito é positivo. Portanto,
também não é uma solução da EDO.
Resposta
Nenhuma das funções
e
são soluções da EDO
.
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O modelo de Von Bertalanffy para crescimento de peixes estabelece que o aumento do peso do peixe é proporcional à área de sua superfície externa (anabolismo) e o decaimento é proposrcional à energia consumida (catabolismo). Este modelo é descrito pela equação diferencial autônoma
onde
e
são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
b) Para cada condição inicial estude o comportamento da solução
quando
.
b) Para cada condição inicial
Considere a função dada por
. Determine o conjunto dos pontos onde
não é diferenciável.
Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
, para
;
Use o Teorema de Existência e Unicidade Local para dizer se os problemas abaixo tem solução única (local)
, onde
é uma função contínua em toda reta;