Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada. , onde é um polinômio qualquer e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
Precisamos verificar se as seguintes funções são soluções dessa EDO:
  1. , onde é um polinômio qualquer.
  2. .
Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções e substituir na EDO para ver se a igualdade é satisfeita.

Passo 2

Vamos começar verificando a primeira função:
Aqui, é um polinômio qualquer. Primeiro, vamos calcular a derivada dessa função:
Agora, substituímos e na EDO:
A EDO exige que esse produto seja igual a 1:
No entanto, sabemos que o produto de um polinômio por sua derivada também resulta em um polinômio. A única maneira desse produto ser igual a 1 (uma constante) é se for uma constante, ou seja, um polinômio de grau zero. Vamos verificar:
Se , onde é uma constante, então:
Substituindo na equação:
Portanto, não existe um polinômio que satisfaça a EDO.

Passo 3

Agora, vamos verificar a segunda função:
Primeiro, calculamos a derivada dessa função:
Agora, substituímos e na EDO:
A EDO exige que esse produto seja igual a 1:
Essa igualdade nunca é verdadeira para valores reais de , já que o lado esquerdo é negativo e o lado direito é positivo. Portanto, também não é uma solução da EDO.

Resposta

Nenhuma das funções e são soluções da EDO .

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