O modelo de Von Bertalanffy para crescimento de peixes estabelece que o aumento do peso do peixe é proporcional à área de sua superfície externa (anabolismo) e o decaimento é proposrcional à energia consumida (catabolismo). Este modelo é descrito pela equação diferencial autônoma
onde
e
são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
b) Para cada condição inicial
estude o comportamento da solução
quando
.
b) Para cada condição inicial
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o modelo de Von Bertalanffy para o crescimento de peixes. Esse modelo usa uma equação diferencial para descrever como o peso do peixe muda ao longo do tempo. A equação que temos é:
Aqui,
e
são constantes positivas que representam, respectivamente, o anabolismo (crescimento) e o catabolismo (decadência). O que precisamos fazer é entender como o peso do peixe,
, se comporta quando o tempo
vai ficando muito grande, ou seja, quando
, para diferentes condições iniciais
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação diferencial. Isso significa encontrar os valores de
onde a taxa de variação do peso é zero, ou seja, onde
.
Então, igualamos a equação a zero:
Vamos resolver isso para encontrar os valores de
que satisfazem essa condição.
Passo 3
Resolvendo a equação
:
Dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Agora, isolamos
:
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz:
Então, temos dois pontos de equilíbrio:
Passo 4
Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio para entender como
se comporta ao longo do tempo.
-
Para
: - Se o peixe começa com peso
, não há crescimento nem decadência, então ele permanece nesse estado. Portanto, para todo .
- Se o peixe começa com peso
-
Para
: - Esse é o ponto de equilíbrio positivo. Se o peixe tem um peso inicial
, a dinâmica vai fazer com que o peso se aproxime desse valor estável à medida que o tempo aumenta.
- Esse é o ponto de equilíbrio positivo. Se o peixe tem um peso inicial
Passo 5
Vamos verificar o comportamento geral:
-
Se
: - Como vimos, o peso permanece zero para todo tempo. Não há crescimento.
-
Se
: - Independentemente do valor inicial positivo, o peso do peixe vai evoluir para o ponto de equilíbrio positivo
conforme .
- Independentemente do valor inicial positivo, o peso do peixe vai evoluir para o ponto de equilíbrio positivo
Isso significa que, a longo prazo, o peso do peixe estabiliza em
.
Resposta
Para toda condição inicial
, a solução
tende a
quando
. Ou seja:
Exercícios relacionados
Considere a função dada por
. Determine o conjunto dos pontos onde
não é diferenciável.
Exemplo de função em que
: Considere a função
Prove que:
, para
.
Verifique quais das funções abaixo são soluções da EDO dada.
, onde
é um polinômio qualquer e
.
Encontre soluções para as seguintes Equações Diferenciais Ordinárias:
, para
;