O modelo de Von Bertalanffy para crescimento de peixes estabelece que o aumento do peso do peixe é proporcional à área de sua superfície externa (anabolismo) e o decaimento é proposrcional à energia consumida (catabolismo). Este modelo é descrito pela equação diferencial autônoma
d p/d t = alpha p^(2/3) - beta p
onde alpha > 0 e beta > 0 são chamadas constantes de anabolismo e catabolismo, respectivamente.
b) Para cada condição inicial p(0) = p0 ≥ 0 estude o comportamento da solução p(t) quando t -> infinito.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre o modelo de Von Bertalanffy para o crescimento de peixes. Esse modelo usa uma equação diferencial para descrever como o peso do peixe muda ao longo do tempo. A equação que temos é:
Aqui, alpha e beta são constantes positivas que representam, respectivamente, o anabolismo (crescimento) e o catabolismo (decadência). O que precisamos fazer é entender como o peso do peixe, p(t), se comporta quando o tempo t vai ficando muito grande, ou seja, quando t -> infinito, para diferentes condições iniciais .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos de equilíbrio da equação diferencial. Isso significa encontrar os valores de p onde a taxa de variação do peso é zero, ou seja, onde .
Então, igualamos a equação a zero:
Vamos resolver isso para encontrar os valores de p que satisfazem essa condição.

Passo 3

Resolvendo a equação :
Dividindo ambos os lados por (desde que p <> 0):
Agora, isolamos p:
Elevando ambos os lados ao cubo para eliminar a raiz:
Então, temos dois pontos de equilíbrio:

Passo 4

Agora, vamos analisar a estabilidade desses pontos de equilíbrio para entender como p(t) se comporta ao longo do tempo.
  • Para :
    • Se o peixe começa com peso , não há crescimento nem decadência, então ele permanece nesse estado. Portanto, para todo t.
  • Para :
    • Esse é o ponto de equilíbrio positivo. Se o peixe tem um peso inicial , a dinâmica vai fazer com que o peso se aproxime desse valor estável à medida que o tempo aumenta.

Passo 5

Vamos verificar o comportamento geral:
  • Se :
    • Como vimos, o peso permanece zero para todo tempo. Não há crescimento.
  • Se :
    • Independentemente do valor inicial positivo, o peso do peixe vai evoluir para o ponto de equilíbrio positivo conforme t -> infinito.
Isso significa que, a longo prazo, o peso do peixe estabiliza em .

Resposta

Para toda condição inicial , a solução p(t) tende a quando t -> infinito. Ou seja:

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