Considere a função dada por f(x, y) = |x + y|. Determine o conjunto dos pontos onde f não é diferenciável. Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função e descobrir em quais pontos essa função não é diferenciável. Isso envolve entender um pouco sobre derivadas parciais e a condição de diferenciabilidade em funções de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais contínuas nesse ponto. No caso de funções com valor absoluto, como , onde , temos que atenção especial nos pontos onde o argumento do valor absoluto é zero, porque aí a função pode não ser suave.

Passo 3

Vamos considerar a função . O ponto crítico aqui é onde , pois é nesse caso que o valor absoluto pode causar falta de diferenciabilidade. Isso acontece porque a função tem uma “quebra” na derivada quando .

Passo 4

Para encontrar os pontos onde não é diferenciável, basta resolver a equação . Essa é a condição onde o argumento do valor absoluto é zero e, portanto, onde a função pode não ser diferenciável.

Passo 5

Resolvendo a equação , temos que . Isso descreve uma reta no plano . Portanto, ao longo dessa reta, a função não é diferenciável.

Resposta

A função não é diferenciável em todos os pontos da reta .

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