Considere a função dada por
. Determine o conjunto dos pontos onde
não é diferenciável. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente analisar a função
e descobrir em quais pontos essa função não é diferenciável. Isso envolve entender um pouco sobre derivadas parciais e a condição de diferenciabilidade em funções de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser diferenciável. Uma função é diferenciável em um ponto se ela tem derivadas parciais contínuas nesse ponto. No caso de funções com valor absoluto, como
, onde
, temos que atenção especial nos pontos onde o argumento do valor absoluto é zero, porque aí a função pode não ser suave.
Passo 3
Vamos considerar a função
. O ponto crítico aqui é onde
, pois é nesse caso que o valor absoluto pode causar falta de diferenciabilidade. Isso acontece porque a função
tem uma “quebra” na derivada quando
.
Passo 4
Para encontrar os pontos onde
não é diferenciável, basta resolver a equação
. Essa é a condição onde o argumento do valor absoluto é zero e, portanto, onde a função pode não ser diferenciável.
Passo 5
Resolvendo a equação
, temos que
. Isso descreve uma reta no plano
. Portanto, ao longo dessa reta, a função
não é diferenciável.
Resposta
A função
não é diferenciável em todos os pontos da reta
.
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano
, no ponto
.
Denote por
o gráfico da função
e seja
(veja a figura abaixo) a curva obtida pela intersecção de
o plano
. Encontre a equação geral da reta tangente à curva
passando pelo ponto
Considere a função
nos itens a seguir.
a) (1.0 ponto) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função .
a) (1.0 ponto) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função