Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função: f(x, y) = e^(-y) sen(x)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais de segunda ordem. Precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação parcial passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Começamos com a derivada parcial em relação a . Como é uma constante em relação a , a derivada de é . Então:

Passo 3

Agora, calculamos a derivada parcial de primeira ordem em relação a . Aqui, é uma constante em relação a , e a derivada de é . Assim:

Passo 4

Com as primeiras derivadas parciais encontradas, seguimos para as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, derivamos em relação a novamente:

Passo 5

Em seguida, derivamos em relação a :

Passo 6

Derivamos em relação a :

Passo 7

Por fim, derivamos em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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