Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas parciais de segunda ordem. Precisamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação parcial passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas parciais de primeira ordem. Começamos com a derivada parcial em relação a
. Como
é uma constante em relação a
, a derivada de
é
. Então:
Passo 3
Agora, calculamos a derivada parcial de primeira ordem em relação a
. Aqui,
é uma constante em relação a
, e a derivada de
é
. Assim:
Passo 4
Com as primeiras derivadas parciais encontradas, seguimos para as derivadas parciais de segunda ordem. Primeiro, derivamos
em relação a
novamente:
Passo 5
Em seguida, derivamos
em relação a
:
Passo 6
Derivamos
em relação a
:
Passo 7
Por fim, derivamos
em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Determine a inclinação da reta tangente à curva gerada pela interseção do gráfico da função:
com o plano
, no ponto
.
Determine as derivadas parciais da função:
Considere a função dada por
. Determine o conjunto dos pontos onde
não é diferenciável. Justifique.
Denote por
o gráfico da função
e seja
(veja a figura abaixo) a curva obtida pela intersecção de
o plano
. Encontre a equação geral da reta tangente à curva
passando pelo ponto