Denote por o gráfico da função e seja (veja a figura abaixo) a curva obtida pela intersecção de o plano . Encontre a equação geral da reta tangente à curva passando pelo ponto
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a função que define uma superfície . A curva é a intersecção dessa superfície com o plano . Nosso objetivo é encontrar a equação geral da reta tangente à curva que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo multivariável, especialmente de derivadas parciais e tangentes a curvas em superfícies.
Passo 2
Vamos primeiro determinar a equação da curva . Como é a intersecção de com o plano , substituímos na função :
Então, a curva pode ser descrita parametrizando como variável livre:
onde é um parâmetro real.
Passo 3
Para encontrar a reta tangente à curva em um ponto qualquer , precisamos calcular o vetor tangente nessa posição. Derivando cada coordenada de em relação a :
Esse vetor tangente nos dá a direção da reta tangente à curva no ponto correspondente a .
Passo 4
Agora, queremos que essa reta tangente passe pelo ponto . A reta tangente no ponto tem a seguinte forma paramétrica:
onde é o parâmetro da reta.
Passo 5
Para que essa reta passe pelo ponto , devemos encontrar valores de e tais que:
A primeira equação é impossível, o que indica que não existe uma reta tangente à curva que passe pelo ponto .
Resposta
Não existe uma reta tangente à curva que passe pelo ponto .