Denote por o gráfico da função e seja (veja a figura abaixo) a curva obtida pela intersecção de o plano . Encontre a equação geral da reta tangente à curva passando pelo ponto

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos a função que define uma superfície . A curva é a intersecção dessa superfície com o plano . Nosso objetivo é encontrar a equação geral da reta tangente à curva que passa pelo ponto . Para resolver isso, vamos precisar de conceitos de cálculo multivariável, especialmente de derivadas parciais e tangentes a curvas em superfícies.

Passo 2

Vamos primeiro determinar a equação da curva . Como é a intersecção de com o plano , substituímos na função :
Então, a curva pode ser descrita parametrizando como variável livre:
onde é um parâmetro real.

Passo 3

Para encontrar a reta tangente à curva em um ponto qualquer , precisamos calcular o vetor tangente nessa posição. Derivando cada coordenada de em relação a :
Esse vetor tangente nos dá a direção da reta tangente à curva no ponto correspondente a .

Passo 4

Agora, queremos que essa reta tangente passe pelo ponto . A reta tangente no ponto tem a seguinte forma paramétrica:
onde é o parâmetro da reta.

Passo 5

Para que essa reta passe pelo ponto , devemos encontrar valores de e tais que:
A primeira equação é impossível, o que indica que não existe uma reta tangente à curva que passe pelo ponto .

Resposta

Não existe uma reta tangente à curva que passe pelo ponto .

Exercícios relacionados

Considere a função dada por . Determine o conjunto dos pontos onde não é diferenciável. Justifique.
Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função:
Considere a função nos itens a seguir.
a) (1.0 ponto) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função .
Considere a função nos itens a seguir.
b) (1.5 pontos) Calcule a integral dupla onde
Justifique suas respostas.