Considere a função dada por f(x, y) = x^2 + y^3 - 2xy. Determine, caso existam, os pontos de mínimo ou máximo locais de f.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis: . O objetivo aqui é encontrar os pontos onde essa função atinge mínimos ou máximos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e testes de segunda derivada.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a x e y. As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a função tem inclinação igual a zero, ou seja, possíveis pontos de mínimo ou máximo.
A derivada parcial de f em relação a x é:
E a derivada parcial de f em relação a y é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções para y:
Então, os pontos críticos são:
  1. Quando , então x = 0, então o ponto é .
  2. Quando , então , então o ponto é .

Passo 5

Agora, vamos determinar a natureza desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O discriminante D é dado por:
Vamos calcular D para cada ponto crítico.
Para o ponto :
Como , o ponto é um ponto de sela, ou seja, não é nem mínimo nem máximo.
Para o ponto :
Como e , o ponto é um ponto de mínimo local.

Resposta

A função possui um ponto de mínimo local no ponto . O ponto é um ponto de sela.

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