Considere a função dada por
. Determine, caso existam, os pontos de mínimo ou máximo locais de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função de duas variáveis:
. O objetivo aqui é encontrar os pontos onde essa função atinge mínimos ou máximos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e testes de segunda derivada.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos ajudam a identificar onde a função tem inclinação igual a zero, ou seja, possíveis pontos de mínimo ou máximo.
A derivada parcial de
em relação a
é:
E a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os pontos onde ambas as derivadas parciais são iguais a zero. Isso significa resolver o sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Isso nos dá duas soluções para
:
Então, os pontos críticos são:
- Quando
, então , então o ponto é . - Quando
, então , então o ponto é .
Passo 5
Agora, vamos determinar a natureza desses pontos críticos usando o teste da segunda derivada. Primeiro, precisamos calcular as segundas derivadas parciais:
O discriminante
é dado por:
Vamos calcular
para cada ponto crítico.
Para o ponto
:
Como
, o ponto
é um ponto de sela, ou seja, não é nem mínimo nem máximo.
Para o ponto
:
Como
e
, o ponto
é um ponto de mínimo local.
Resposta
A função
possui um ponto de mínimo local no ponto
. O ponto
é um ponto de sela.