Considere a função f(x, y)=rllx^2+y^2-2 x^2 y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 1, & se & (x, y)=(0,0).
Verifique se f é diferenciável em (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função definida de forma diferente para o ponto e para qualquer outro ponto . A questão é verificar se essa função é diferenciável em . Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade, derivadas parciais e o conceito de diferenciabilidade em funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos garantir que a função é contínua em f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x^2y^2x^2 + y^2 = 1 - 2x^2y^2 cdot 1x^2 + y^2 . Se a função não for contínua nesse ponto, já sabemos que ela não é diferenciável. Para isso, vamos calcular o limite de lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 1 quando se aproxima de .
A função para é:
Quando , tende a 0 e também tende a 0, mas a fração tende a 0. Portanto:
Como , a função é contínua em .

Passo 3

Agora, vamos verificar se as derivadas parciais de fx(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h existem em f(h, 0) = h^2 + 0 - 2h^2 cdot 0h^2 + 0 = 1 . As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a fx(0,0) = limh to 0 1 - 1h = 0 e a fy(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k separadamente.
Vamos calcular a derivada parcial em relação a f(0, k) = 0 + k^2 - 2 cdot 0 cdot k^20 + k^2 = 1 em fy(0,0) = limk to 0 1 - 1k = 0 :
Substituindo os valores:
Então:
Do mesmo jeito, para a derivada parcial em relação a :
Substituindo:
Então:
Portanto, as derivadas parciais existem e são iguais a 0 em .

Passo 4

Agora que temos a continuidade e as derivadas parciais, precisamos verificar se a função é diferenciável em lim(h, k) to (0,0) f(h, k) - f(0,0) - fx(0,0)h - fy(0,0)kraizh^2 + k^2 = 0 . Para isso, devemos checar se a aproximação linear da função no ponto lim(h, k) to (0,0) f(h, k) - 1raizh^2 + k^2 é uma boa aproximação, ou seja, se:
f(h, k) - 1 = h^2 + k^2 - 2h^2k^2h^2 + k^2 - 1 = -2h^2k^2 cdot 1h^2 + k^2
Como f(h, k) - 1raizh^2 + k^2 = -2 cdot h^2k^2(h^2 + k^2)^3/2 e , simplifica para:
Usando a expressão de :
Então:
Precisamos que esse limite seja 0 para a diferenciabilidade.

Passo 5

Vamos analisar esse limite. Observe que | h^2k^2(h^2 + k^2)^3/2 | <= (h^2 + k^2)^2/4(h^2 + k^2)^3/2 = (h^2 + k^2)^1/24 pela desigualdade de média aritmética e geométrica. Portanto:
À medida que , . Logo, o limite da fração toda tende a 0.

Resposta

Como o limite é 0, a função é diferenciável em .

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