Considere a função
.
Verifique se
é diferenciável em
.
Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma função
definida de forma diferente para o ponto
e para qualquer outro ponto
. A questão é verificar se essa função é diferenciável em
. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre continuidade, derivadas parciais e o conceito de diferenciabilidade em funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos garantir que a função é contínua em
. Se a função não for contínua nesse ponto, já sabemos que ela não é diferenciável. Para isso, vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
.
A função para
é:
Quando
,
tende a 0 e
também tende a 0, mas a fração
tende a 0. Portanto:
Como
, a função é contínua em
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se as derivadas parciais de
existem em
. As derivadas parciais são as taxas de variação da função em relação a
e a
separadamente.
Vamos calcular a derivada parcial em relação a
em
:
Substituindo os valores:
Então:
Do mesmo jeito, para a derivada parcial em relação a
:
Substituindo:
Então:
Portanto, as derivadas parciais existem e são iguais a 0 em
.
Passo 4
Agora que temos a continuidade e as derivadas parciais, precisamos verificar se a função é diferenciável em
. Para isso, devemos checar se a aproximação linear da função no ponto
é uma boa aproximação, ou seja, se:
Como
e
, simplifica para:
Usando a expressão de
:
Então:
Precisamos que esse limite seja 0 para a diferenciabilidade.
Passo 5
Vamos analisar esse limite. Observe que
pela desigualdade de média aritmética e geométrica. Portanto:
À medida que
,
. Logo, o limite da fração toda tende a 0.
Resposta
Como o limite
é 0, a função
é diferenciável em
.