Encontrar a área entre as curvas (inverta o sinal dos trechos onde a integral for negativa)
x=0 ; x=2 ; y=0 ; y=x^2-x

Passo 1

Vamos resolver um problema de cálculo envolvendo a área entre curvas. O enunciado nos dá duas funções e limites em . Vamos precisar usar integrais para encontrar a área entre essas curvas, ajustando o sinal das integrais quando necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas envolvidas. Temos:
  • A reta vertical
  • A reta vertical
  • A reta horizontal (ou eixo )
  • A curva

Passo 3

Para encontrar a área entre essas curvas, precisamos identificar os limites de integração e a função que determina a área entre elas. Nesse caso, os limites de são de 0 a 2.

Passo 4

Vamos calcular a integral da função em relação a de 0 a 2. A integral dessa função nos dará a área entre a curva e o eixo :

Passo 5

Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos cada termo separadamente:
Então, a integral completa fica:

Passo 6

Agora, substituímos os limites de 0 e 2 na expressão integrada:
Para :
Para :

Passo 7

Subtraindo os valores obtidos nos limites:
Como a área não pode ser negativa, invertemos o sinal se necessário. Neste caso, a área já é positiva.

Resposta

A área entre as curvas é unidades quadradas.

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