Considere a função
.
Verifique se
é contínua em
;
Verifique se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função
é contínua no ponto
. Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre continuidade e limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular o limite de
quando
se aproxima de
e comparar com o valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função
é contínua em
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual a
. Ou seja:
Então, nossa meta é calcular esse limite quando
.
Passo 3
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Para
, a função é:
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de
quando
se aproxima de
. Temos:
Então, precisamos calcular o limite:
Passo 5
Para calcular esse limite, podemos usar a desigualdade
, que nos dá:
Como
,
. Portanto:
Passo 6
Voltando ao limite de
:
Agora, sabemos que:
Resposta
Como o limite de
quando
se aproxima de
é igual a
, a função
é contínua em
.
Exercícios relacionados
Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
§ .
§
Represente, geometricamente, os vetores abaixo.
(b) .
(b)
Encontrar o volume definido pela rotação em torno do eixo
das funções dadas: