Considere a função .
Verifique se é contínua em ;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é contínua no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre continuidade e limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular o limite de quando se aproxima de e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual a . Ou seja:
Então, nossa meta é calcular esse limite quando .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de . Para , a função é:
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de quando se aproxima de . Temos:
Então, precisamos calcular o limite:

Passo 5

Para calcular esse limite, podemos usar a desigualdade , que nos dá:
Como , . Portanto:

Passo 6

Voltando ao limite de :
Agora, sabemos que:

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é igual a , a função é contínua em .

Exercícios relacionados

Utilize o GeoGebra para fazer o gráfico das curvas abaixo (as figuras obtidas neste exercício são chamadas de limaçons; as obtidas nos itens ©, (h), (m) e ® também são chamadas de cardioides).
§ .
Represente, geometricamente, os vetores abaixo.
(b) .
Encontrar o volume definido pela rotação em torno do eixo das funções dadas: