Considere a função f(x, y)=rllx^2+y^2-2 x^2 y^2x^2+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 1, & se & (x, y)=(0,0).
Verifique se f é contínua em (0,0);

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função é contínua no ponto . Isso envolve conceitos de cálculo multivariável, especialmente sobre continuidade e limites de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar calcular o limite de quando se aproxima de e comparar com o valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Uma função lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) é contínua em se o limite de quando se aproxima de for igual a . Ou seja:
Então, nossa meta é calcular esse limite quando .

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x^2y^2x^2 + y^2 quando f(x, y) = x^2 + y^2x^2 + y^2 - 2x^2y^2x^2 + y^2 = 1 - 2x^2y^2x^2 + y^2 se aproxima de . Para , a função é:
Podemos simplificar essa expressão dividindo cada termo do numerador pelo denominador:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de lim(x, y) to (0, 0) (1 - 2x^2y^2x^2 + y^2) = 1 - lim(x, y) to (0, 0) 2x^2y^2x^2 + y^2 quando lim(x, y) to (0, 0) 2x^2y^2x^2 + y^2 se aproxima de . Temos:
Então, precisamos calcular o limite:

Passo 5

Para calcular esse limite, podemos usar a desigualdade 2x^2y^2x^2 + y^2 <= 2 cdot (x^2 + y^2)^24x^2 + y^2 = (x^2 + y^2)2 , que nos dá:
lim(x, y) to (0, 0) 2x^2y^2x^2 + y^2 = 0
Como , . Portanto:

Passo 6

Voltando ao limite de lim(x, y) to (0, 0) f(x, y) = 1 - 0 = 1 :
f(0, 0) = 1
Agora, sabemos que:

Resposta

Como o limite de quando se aproxima de é igual a , a função é contínua em .

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