Considere a função dada por
.
Determine as derivadas parciais de ordem 2:
e
.
Determine as derivadas parciais de ordem 2:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo de derivadas parciais, especificamente sobre como calcular derivadas de funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que
, então podemos reescrever
como:
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
. Vamos derivar cada termo separadamente.
Para o primeiro termo
, derivando em relação a
:
Para o segundo termo
, usando a regra do produto:
Então, a primeira derivada parcial em relação a
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Primeiro termo
, derivando em relação a
:
Segundo termo
, usando a regra do produto:
Então, a primeira derivada parcial em relação a
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial
. Isso significa derivar
novamente em relação a
.
Lembrando que:
Derivando em relação a
:
Passo 6
Vamos calcular agora a segunda derivada parcial mista
. Isso significa primeiro derivar
em relação a
.
Lembrando que:
Derivando em relação a
:
Passo 7
Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista
. Segundo o teorema de Clairaut, para funções suficientemente suaves, essas derivadas são iguais. Então:
Passo 8
Finalmente, vamos calcular a segunda derivada parcial
. Isso significa derivar
novamente em relação a
.
Lembrando que:
Derivando em relação a
:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem são: