Considere a função dada por f(x, y)=x ln y^2+y^3 e^-x y.
Determine as derivadas parciais de ordem 2: partial^2 fpartial x^2, partial^2 fpartial x partial y, partial^2 fpartial y partial x e partial^2 fpartial y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo de derivadas parciais, especificamente sobre como calcular derivadas de funções com mais de uma variável. Para resolver isso, vamos precisar aplicar as regras de derivação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que f(x, y) = 2x ln y + y^3 e^-x y , então podemos reescrever como:

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a partialpartial x (2x ln y) = 2 ln y , ou seja, partialpartial x (y^3 e^-x y) = y^3 cdot (-y) e^-x y = -y^4 e^-x y . Vamos derivar cada termo separadamente.
Para o primeiro termo partial fpartial x = 2 ln y - y^4 e^-x y , derivando em relação a :
Para o segundo termo , usando a regra do produto:
Então, a primeira derivada parcial em relação a é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a primeira derivada parcial em relação a partialpartial y (2x ln y) = 2x cdot 1y = 2xy , ou seja, partialpartial y (y^3 e^-x y) = 3y^2 e^-x y + y^3 cdot (-x) e^-x y = 3y^2 e^-x y - x y^3 e^-x y .
Primeiro termo partial fpartial y = 2xy + 3y^2 e^-x y - x y^3 e^-x y , derivando em relação a :
Segundo termo , usando a regra do produto:
Então, a primeira derivada parcial em relação a é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial partial fpartial x = 2 ln y - y^4 e^-x y . Isso significa derivar partial^2 fpartial x^2 = partialpartial x (2 ln y) - partialpartial x (y^4 e^-x y) = 0 - (-y^5 e^-x y) = y^5 e^-x y novamente em relação a .
Lembrando que:
Derivando em relação a :

Passo 6

Vamos calcular agora a segunda derivada parcial mista partial fpartial x = 2 ln y - y^4 e^-x y . Isso significa primeiro derivar partial^2 fpartial x partial y = partialpartial y (2 ln y) - partialpartial y (y^4 e^-x y) = 2y - (4y^3 e^-x y - x y^4 e^-x y) em relação a = 2y - 4y^3 e^-x y + x y^4 e^-x y .
Lembrando que:
Derivando em relação a :

Passo 7

Agora, vamos calcular a segunda derivada parcial mista partial^2 fpartial y partial x = partial^2 fpartial x partial y = 2y - 4y^3 e^-x y + x y^4 e^-x y . Segundo o teorema de Clairaut, para funções suficientemente suaves, essas derivadas são iguais. Então:

Passo 8

Finalmente, vamos calcular a segunda derivada parcial partial fpartial y = 2xy + 3y^2 e^-x y - x y^3 e^-x y . Isso significa derivar partial^2 fpartial y^2 = -2xy^2 + 6y e^-x y - 3x y^2 e^-x y - x y^3 (-x) e^-x y novamente em relação a = -2xy^2 + 6y e^-x y - 3x y^2 e^-x y + x^2 y^3 e^-x y .
Lembrando que:
Derivando em relação a :

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem são:
partial^2 fpartial x^2 = y^5 e^-x y
partial^2 fpartial x partial y = partial^2 fpartial y partial x = 2y - 4y^3 e^-x y + x y^4 e^-x y
partial^2 fpartial y^2 = -2xy^2 + 6y e^-x y - 3x y^2 e^-x y + x^2 y^3 e^-x y

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