Determine todas as derivadas parciais de ordem 1 da função dada por
f(u, v, w) = v^2 * e^u + u^(-3) * e^w - u * v * cos(w)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função muda em relação a uma variável enquanto mantemos as outras constantes.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Para isso, tratamos e como constantes.
A função é:
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é , já que é constante e a derivada de é .
  • A deriviva de em relação a é , usando a regra da potência.
  • A derivada de em relação a é , já que é constante.
Então:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, e são constantes.
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é 0, já que não há nesse termo.
  • A derivada de em relação a é .
Então:

Passo 4

Por último, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, e são constantes.
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de em relação a é 0, já que não há nesse termo.
  • A derivada de em relação a é .
  • A derivada de em relação a é , já que a derivada de é .
Então:

Resposta

As derivadas parciais de ordem 1 da função são:

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