Determine todas as derivadas parciais de ordem 1 da função dada por
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar todas as derivadas parciais de primeira ordem da função
Aqui, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de várias variáveis e queremos ver como a função muda em relação a uma variável enquanto mantemos as outras constantes.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Para isso, tratamos
e
como constantes.
A função é:
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é , já que é constante e a derivada de é . - A deriviva de
em relação a é , usando a regra da potência. - A derivada de
em relação a é , já que é constante.
Então:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
e
são constantes.
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é 0, já que não há nesse termo. - A derivada de
em relação a é .
Então:
Passo 4
Por último, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui,
e
são constantes.
Derivando cada termo em relação a
:
- A derivada de
em relação a é 0, já que não há nesse termo. - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é , já que a derivada de é .
Então:
Resposta
As derivadas parciais de ordem 1 da função
são: