Desenhe as curvas de nível e esboce
gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função
, com as condições
e
. Isso envolve conceitos de funções de várias variáveis e curvas de nível. Para resolver, a gente vai precisar entender como as curvas de nível funcionam e como representar a função no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Elas são curvas no plano
onde a função assume valores constantes. Ou seja, para um valor fixo de
, vamos encontrar a relação entre
e
que mantém
constante.
Passo 3
Vamos escolher um valor geral para
e resolver a equação
. Vamos chamar esse valor de
, então temos:
Para
, pois um quadrado nunca é negativo.
Passo 4
Resolvendo para
, temos:
Isolando
:
Essas são duas retas paralelas com inclinação 1, afastadas uma da outra por
.
Passo 5
Agora, para desenhar as curvas de nível, escolhemos diferentes valores de
(por exemplo,
) e desenhamos as correspondentes pares de retas no plano
, respeitando as condições
e
.
Passo 6
Vamos esboçar o gráfico da função
. Essa função representa uma paraboloide que se abre para cima, já que o termo quadrático
garante que
seja sempre positivo ou zero. As curvas de nível que desenhamos serão cortes horizontais desse paraboloide.
Resposta
As curvas de nível de
são duas retas paralelas
e
para cada valor positivo de
. O gráfico da função é uma paraboloide que se abre para cima, onde cada “anel” horizontal corresponde a essas retas. Respeitando as condições
e
, o esboço mostrará apenas as partes das retas e do paraboloide que atendem a esses critérios.