Desenhe as curvas de nível e esboce circunferência gráfico.
z = (x - y)², x ≠ 0 e y ≥ 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para desenhar as curvas de nível e esboçar o gráfico da função , com as condições e . Isso envolve conceitos de funções de várias variáveis e curvas de nível. Para resolver, a gente vai precisar entender como as curvas de nível funcionam e como representar a função no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são curvas de nível. Elas são curvas no plano onde a função assume valores constantes. Ou seja, para um valor fixo de , vamos encontrar a relação entre e que mantém constante.

Passo 3

Vamos escolher um valor geral para e resolver a equação . Vamos chamar esse valor de , então temos:
Para , pois um quadrado nunca é negativo.

Passo 4

Resolvendo para , temos:
Isolando :
Essas são duas retas paralelas com inclinação 1, afastadas uma da outra por .

Passo 5

Agora, para desenhar as curvas de nível, escolhemos diferentes valores de (por exemplo, ) e desenhamos as correspondentes pares de retas no plano , respeitando as condições e .

Passo 6

Vamos esboçar o gráfico da função . Essa função representa uma paraboloide que se abre para cima, já que o termo quadrático garante que seja sempre positivo ou zero. As curvas de nível que desenhamos serão cortes horizontais desse paraboloide.

Resposta

As curvas de nível de são duas retas paralelas e para cada valor positivo de . O gráfico da função é uma paraboloide que se abre para cima, onde cada “anel” horizontal corresponde a essas retas. Respeitando as condições e , o esboço mostrará apenas as partes das retas e do paraboloide que atendem a esses critérios.

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