Scja g: |0,2 pi| -> R uma função dada. Prove que existe uma única função f: R^2 -> P, homogênca de grau lambda != 0, tal que, para todo alpha in [0, 2 pi[, f(cos alpha), sen alpha = g(alpha). (Observação: o Exercício 8 no: diz quc umá função homogênea fica completamente determinada quando se conlecemos valores que ela assume sobre os pontos de uma circunterência de centro na orisem.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que existe uma única função homogênea de grau que, quando aplicada aos pontos da circunferência unitária, retorna a função . Isso está relacionado ao estudo de funções homogêneas, que são aquelas que satisfazem para todo . Vamos precisar usar essa definição para construir a função que queremos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função homogênea de grau . Uma função é homogênea de grau se, para qualquer escalar , ela satisfaz:
Isso significa que se ampliarmos o vetor por um fator , o valor da função muda por um fator .

Passo 3

Sabemos que na circunferência unitária, pontos têm a forma . O enunciado nos diz que para todo , . Isso nos dá os valores da função na circunferência unitária.

Passo 4

Agora, para definir em todo , usamos a propriedade da função homogênea. Para qualquer ponto , podemos escrever como , onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 5

Aplicando a homogeneidade, temos:
Então, definimos , onde é o ângulo tal que e .

Passo 6

Para garantir a unicidade da função , observamos que a definição acima depende unicamente de e da homogeneidade de grau . Não há outra maneira de definir que satisfaça ambas as condições simultaneamente, ou seja, ser homogênea de grau e coincidir com na circunferência unitária.

Resposta

Existe uma única função homogênea de grau dada por
que satisfaz para todo .

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