Scja
uma função dada. Prove que existe uma única função
, homogênca de grau
, tal que, para todo
, sen
. (Observação: o Exercício 8 no: diz quc umá função homogênea fica completamente determinada quando se conlecemos valores que ela assume sobre os pontos de uma circunterência de centro na orisem.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente provar que existe uma única função homogênea de grau
que, quando aplicada aos pontos da circunferência unitária, retorna a função
. Isso está relacionado ao estudo de funções homogêneas, que são aquelas que satisfazem
para todo
. Vamos precisar usar essa definição para construir a função
que queremos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função homogênea de grau
. Uma função
é homogênea de grau
se, para qualquer escalar
, ela satisfaz:
Isso significa que se ampliarmos o vetor
por um fator
, o valor da função muda por um fator
.
Passo 3
Sabemos que na circunferência unitária, pontos têm a forma
. O enunciado nos diz que para todo
,
. Isso nos dá os valores da função
na circunferência unitária.
Passo 4
Agora, para definir
em todo
, usamos a propriedade da função homogênea. Para qualquer ponto
, podemos escrever
como
, onde
é a distância até a origem e
é o ângulo.
Passo 5
Aplicando a homogeneidade, temos:
Então, definimos
, onde
é o ângulo tal que
e
.
Passo 6
Para garantir a unicidade da função
, observamos que a definição acima depende unicamente de
e da homogeneidade de grau
. Não há outra maneira de definir
que satisfaça ambas as condições simultaneamente, ou seja, ser homogênea de grau
e coincidir com
na circunferência unitária.
Resposta
Existe uma única função homogênea de grau
dada por
que satisfaz para todo
.