Responda a EDO poro mezodo da substituiçä
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) usando o método da substituição. A equação que temos é:
Vamos precisar entender se essa equação é exata ou se podemos aplicar uma substituição que simplifique a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação é exata. Uma EDO na forma
é exata se
.
Identificando
e
:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata. Isso significa que existe uma função
tal que:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a função
. Para isso, integramos
em relação a
:
Onde
é uma funç��o de
que surge pela constante de integração.
Passo 4
Para determinar
, diferenciamos
em relação a
e igualamos a
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Agora, integramos
em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Substituímos
na expressão de
:
Como a solução geral da EDO é
, podemos escrever:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é uma constante real.