Considere a função dada por
. Calcule
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, e precisamos calcular a segunda derivada parcial mista, ou seja,
.
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de diferenciação, como a regra do produto e a regra da cadeia.
Passo 2
Começamos calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
, denotada por
.
Vamos derivar cada termo da função em relação a
:
-
Aqui usamos a regra do poder: derivada deé . -
Comoé constante em relação a , a derivada de é 1. -
Porquenão depende de , sua derivada em relação a é zero. -
A derivada deem relação a é . -
Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada deé , onde e .
Agora, somando todas as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial dessa expressão em relação a
, ou seja,
.
Derivando cada termo com relação a
:
-
A derivada deé 1, então multiplicamos por . -
A derivada deé . -
Poisnão depende de . -
Aqui usamos a regra do produto: derivada deé , onde e . -
-
(pela regra da cadeia, derivada de em relação a é )
Então: -
Agora, somando todas as derivadas:
Resposta
A segunda derivada parcial mista de
é:
Exercícios relacionados
Dada a função
, determine: a expressão das curvas de nível e sua representação gráfica
Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando
:
.
Determine as derivadas parcias de primeira ordem de
:
Determine as derivadas parcias de primeira ordem de
: