Considere a função dada por f(x, y)=x y^2+3 y sen x-ln x-ln y+e^4 x y. Calcule partial^2 fpartial x partial y(x, y).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , e precisamos calcular a segunda derivada parcial mista, ou seja, .
Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas parciais e aplicar as regras de diferenciação, como a regra do produto e a regra da cadeia.

Passo 2

Começamos calculando a primeira derivada parcial de partial fpartial y = 2x y + 3 sin x - 1y + 4x e^4 x y em relação a , denotada por .
Vamos derivar cada termo da função em relação a :

  1. Aqui usamos a regra do poder: derivada de é .

  2. Como é constante em relação a , a derivada de é 1.

  3. Porque não depende de , sua derivada em relação a é zero.

  4. A derivada de em relação a é .

  5. Aqui usamos a regra da cadeia: a derivada de é , onde e .
Agora, somando todas as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial dessa expressão em relação a partialpartial x (4x e^4 x y) = 4 e^4 x y + 4x cdot 4y e^4 x y = 4 e^4 x y + 16xy e^4 x y , ou seja, partial^2 fpartial x partial y = 2y + 3 cos x + 4 e^4 x y + 16xy e^4 x y .
Derivando cada termo com relação a :

  1. A derivada de é 1, então multiplicamos por .

  2. A derivada de é .

  3. Pois não depende de .

  4. Aqui usamos a regra do produto: derivada de é , onde e .
    • (pela regra da cadeia, derivada de em relação a é )
    Então:
Agora, somando todas as derivadas:

Resposta

A segunda derivada parcial mista de partial^2 fpartial x partial y(x, y) = 2y + 3 cos x + 4 e^4 x y + 16xy e^4 x y é:

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