Determine as derivadas parcias de primeira ordem de f : f(x, y) = x * y^2 + 3 * y * sen(x) - ln(x) - ln(y) + e^(4 * x * y)

Passo 1

Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis:
Precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa função em relação a e . Para isso, vamos precisar saber como derivar cada termo da função em relação a uma das variáveis, considerando a outra como constante.

Passo 2

Vamos começar encontrando a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Nesse caso, tratamos como uma constante.
Analisando cada termo da função:
  1. : Aqui, é uma constante quando derivamos em relação a . A derivada de em relação a é 1, então a derivada desse termo é .
  2. : é constante em relação a . A derivada de é , então a derivada desse termo é .
  3. : A derivada de em relação a é . Portanto, a derivada desse termo é .
  4. : Como é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , a derivada desse termo é 0.
  5. : Aqui, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Neste caso, , então . Portanto, a derivada desse termo é .
Agora, somando todas as derivadas:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Aqui, tratamos como uma constante.
Analisando cada termo da função:
  1. : A derivada de em relação a é . Multiplicando pelo constante, temos .
  2. : é constante em relação a . A derivada de em relação a é 1, então a derivada desse termo é .
  3. : Como é constante em relação a , a derivada desse termo é 0.
  4. : A derivada de em relação a é . Portanto, a derivada desse termo é .
  5. : Aplicando a regra da cadeia novamente, com , a derivada em relação a é . Assim, a derivada desse termo é .
Agora, somando todas as derivadas:

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem de são:
e

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