Determine as derivadas parcias de primeira ordem de
:
Passo 1
Beleza! Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis:
Precisamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem dessa função em relação a
e
. Para isso, vamos precisar saber como derivar cada termo da função em relação a uma das variáveis, considerando a outra como constante.
Passo 2
Vamos começar encontrando a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Nesse caso, tratamos
como uma constante.
Analisando cada termo da função:
-
: Aqui, é uma constante quando derivamos em relação a . A derivada de em relação a é 1, então a derivada desse termo é . -
: é constante em relação a . A derivada de é , então a derivada desse termo é . -
: A derivada de em relação a é . Portanto, a derivada desse termo é . -
: Como é tratado como uma constante quando derivamos em relação a , a derivada desse termo é 0. -
: Aqui, aplicamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é . Neste caso, , então . Portanto, a derivada desse termo é .
Agora, somando todas as derivadas:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Aqui, tratamos
como uma constante.
Analisando cada termo da função:
-
: A derivada de em relação a é . Multiplicando pelo constante, temos . -
: é constante em relação a . A derivada de em relação a é 1, então a derivada desse termo é . -
: Como é constante em relação a , a derivada desse termo é 0. -
: A derivada de em relação a é . Portanto, a derivada desse termo é . -
: Aplicando a regra da cadeia novamente, com , a derivada em relação a é . Assim, a derivada desse termo é .
Agora, somando todas as derivadas:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem de
são:
e