Determine as derivadas parcias de primeira ordem de f : f(x, y) = (x^5 * sen(x) * y) / (raiz(x^3 * y) + 3 * y^4)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso tá dentro do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Pra resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é tipo uma regra de derivação pra frações, além de conhecer um pouco sobre derivadas de funções compostas e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de é .
Aqui, e .

Passo 3

Vamos calcular em relação a :
Aqui, temos um produto de duas funções de : e . Então, usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Para , usamos a regra da cadeia:
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular em relação a :
A derivada de em relação a é zero, já que não depende de . Então, focamos em .
Reescrevendo como , aplicamos a regra da cadeia:
Então,

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente para :
Substituindo os valores que encontramos:
Essa é a derivada parcial em relação a .

Passo 6

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a , ou seja, . Novamente, usamos a regra do quociente.
Aqui, e .

Passo 7

Vamos calcular em relação a :
A derivada de em relação a é zero, já que não depende de . Então,
Usando a regra da cadeia:
Então,

Passo 8

Agora, vamos calcular em relação a :
A derivada de em relação a é:
Reescrevendo como , aplicamos a regra da cadeia:
E a derivada de em relação a é .
Então,

Passo 9

Aplicando a regra do quociente para :
Substituindo os valores que encontramos:
Essa é a derivada parcial em relação a .

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função são:

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