Determine as derivadas parcias de primeira ordem de
:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função . Isso tá dentro do estudo de Cálculo Diferencial, mais especificamente de derivadas parciais. Pra resolver isso, vamos precisar usar a regra do quociente, que é tipo uma regra de derivação pra frações, além de conhecer um pouco sobre derivadas de funções compostas e funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Vamos usar a regra do quociente, que diz que a derivada de
é
.
Aqui, e
.
Passo 3
Vamos calcular
em relação a
:
Aqui, temos um produto de duas funções de
:
e . Então, usamos a regra do produto:
Calculando cada parte:
Para , usamos a regra da cadeia:
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é zero, já que não depende de
. Então, focamos em
.
Reescrevendo
como
, aplicamos a regra da cadeia:
Então,
Passo 5
Agora, aplicamos a regra do quociente para
:
Substituindo os valores que encontramos:
Essa é a derivada parcial em relação a
.
Passo 6
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. Novamente, usamos a regra do quociente.
Aqui, e
.
Passo 7
Vamos calcular
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é zero, já que não depende de
. Então,
Usando a regra da cadeia:
Então,
Passo 8
Agora, vamos calcular
em relação a
:
A derivada de
em relação a
é:
Reescrevendo
como
, aplicamos a regra da cadeia:
E a derivada de
em relação a
é
.
Então,
Passo 9
Aplicando a regra do quociente para
:
Substituindo os valores que encontramos:
Essa é a derivada parcial em relação a
.
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
são:
Exercícios relacionados
Determine as derivadas parcias de primeira ordem de
:
Considere a função dada por
. Calcule
.
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo.
18a
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo: , onde
.
18a
Determine e classifique os pontos críticos das funções abaixo:
Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano
. (Admita que
e
sejam dados em
e a temperatura em
.) Um indivíduo encontra-se na posição
e pretende dar um passeio. Qual a direção e sentido que ele deverá tomar se for seu desejo caminhar na direção de menor crescimento da temperatura? Qual é a menor taxa de variação instantânea de temperatura nesse ponto?