Dada a função
, determine: a expressão das curvas de nível e sua representação gráfica
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função
e precisamos encontrar as expressões das curvas de nível dessa função e também como elas se parecem no gráfico. Isso envolve um pouco de geometria analítica, especificamente o estudo de curvas como elipses e parábolas. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las matematicamente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Basicamente, uma curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
tem o mesmo valor constante, digamos
. Então, para nossa função
, a curva de nível será dada por:
Passo 3
Agora, vamos analisar essa equação
. Dependendo do valor de
, essa equação representa diferentes tipos de curvas. Mas, no geral, quando temos uma equação na forma
, isso geralmente representa uma elipse ou um círculo, dependendo dos coeficientes.
Passo 4
Para tornar isso mais claro, podemos reescrever a equação dividindo todos os termos por
:
Isso nos mostra que a curva é uma elipse, já que os coeficientes de
e
são diferentes. As elipses têm duas semieixos, um na direção
e outro na direção
, que são dadas por:
Aqui,
é o semieixo maior (na direção
) e
é o semieixo menor (na direção
).
Passo 5
Então, para cada valor de
, teremos uma elipse diferente. Por exemplo, se escolhermos
, a equação fica:
Aqui,
e
, então a elipse é mais esticada na direção
.
Passo 6
Para representar graficamente todas as curvas de nível, imaginamos várias elipses com diferentes valores de
. À medida que
aumenta, as elipses ficam maiores, se afastando do centro (que é a origem
). Elas nunca se cruzam e todas são simétricas em relação aos eixos
e
.
Resposta
As curvas de nível da função
são elipses dadas por
para diferentes valores de
. Graficamente, essas curvas são elipses centradas na origem, com semieixos de comprimentos
na direção
e
na direção
, aumentando de tamanho conforme
aumenta.
Exercícios relacionados
Para cada uma das funções dadas abaixo, calcule o limite quando
:
.
Calcule a derivada usando a Regra da Cadeia:
.
Considere a função dada por
. Calcule
.
Determine as derivadas parcias de primeira ordem de
: