Dada a função f(x, y) = 9*x^2 + 4*y^2, determine: a expressão das curvas de nível e sua representação gráfica

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos a função e precisamos encontrar as expressões das curvas de nível dessa função e também como elas se parecem no gráfico. Isso envolve um pouco de geometria analítica, especificamente o estudo de curvas como elipses e parábolas. Para isso, vamos precisar entender o que são curvas de nível e como representá-las matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma curva de nível. Basicamente, uma curva de nível é o conjunto de pontos onde a função tem o mesmo valor constante, digamos . Então, para nossa função , a curva de nível será dada por:

Passo 3

Agora, vamos analisar essa equação . Dependendo do valor de , essa equação representa diferentes tipos de curvas. Mas, no geral, quando temos uma equação na forma , isso geralmente representa uma elipse ou um círculo, dependendo dos coeficientes.

Passo 4

Para tornar isso mais claro, podemos reescrever a equação dividindo todos os termos por :
Isso nos mostra que a curva é uma elipse, já que os coeficientes de e são diferentes. As elipses têm duas semieixos, um na direção e outro na direção , que são dadas por:
Aqui, é o semieixo maior (na direção ) e é o semieixo menor (na direção ).

Passo 5

Então, para cada valor de , teremos uma elipse diferente. Por exemplo, se escolhermos , a equação fica:
Aqui, e , então a elipse é mais esticada na direção .

Passo 6

Para representar graficamente todas as curvas de nível, imaginamos várias elipses com diferentes valores de . À medida que aumenta, as elipses ficam maiores, se afastando do centro (que é a origem ). Elas nunca se cruzam e todas são simétricas em relação aos eixos e .

Resposta

As curvas de nível da função são elipses dadas por para diferentes valores de . Graficamente, essas curvas são elipses centradas na origem, com semieixos de comprimentos na direção e na direção , aumentando de tamanho conforme aumenta.

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