Considere a função f: R R dada por f(x)=|x-52|. Encontre:
f^-1([0,2])

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar da função . Isso faz parte do conteúdo de Funções e suas propriedades, especificamente envolvendo valor absoluto e função inversa. Vamos precisar entender como o valor absoluto funciona e como encontrar a pré-imagem de um intervalo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 0 <= |x - 52| <= 2 . Esse conjunto representa todos os valores de tais que está no intervalo de 0 a 2. Ou seja, queremos encontrar todos os que satisfazem a inequação:

Passo 3

O próximo passo é resolver a inequação do valor absoluto. Sabemos que |x - 52| <= 2 significa que - 2 <= x - 52 <= 2 está a uma distância de no máximo de . Aplicando isso aqui:
Isso implica que:

Passo 4

Agora, vamos isolar - 2 + 52 <= x <= 2 + 52 na inequação. Para isso, somamos em todas as partes da inequação:

Passo 5

Vamos calcular os limites:
- 2 + 52 = -42 + 52 = 12
2 + 52 = 42 + 52 = 92
Então, temos:
12 <= x <= 92

Resposta

Portanto, .

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