Nos Exercícios 17-24, resolva o sistema linear dado por qualquer método.
22. x1+3 x2+x4=0
x1+4 x2+2 x3 =0
-2 x2-2 x3-x4=0
2 x1-4 x2+x3+x4=0
x1-2 x2-x3+x4=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão tá pedindo. A gente tem um sistema de equações lineares com 5 equações e 4 incógnitas: , , e . Nosso objetivo é encontrar os valores dessas incógnitas que satisfazem todas as equações ao mesmo tempo. Para resolver isso, vamos usar o método de redução, que envolve combinar e simplificar as equações para encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever todas as equações de forma organizada:
x1 + 3x2 + x4 = 0 (Eq 1) x1 + 4x2 + 2x3 = 0 (Eq 2) -2x2 - 2x3 - x4 = 0 (Eq 3) 2x1 - 4x2 + x3 + x4 = 0 (Eq 4) x1 - 2x2 - x3 + x4 = 0 (Eq 5)

Passo 3

Vamos começar eliminando (x1 + 4x2 + 2x3) - (x1 + 3x2 + x4) = 0 - 0 . Para isso, vamos subtrair a Eq. 1 da Eq. 2:
x2 + 2x3 - x4 = 0 (Eq 6)

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com a Eq. 3:
-2x2 - 2x3 - x4 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -1:
2x2 + 2x3 + x4 = 0 (Eq 7)

Passo 5

Vamos somar a Eq. 6 e a Eq. 7 para eliminar o (x2 + 2x3 - x4) + (2x2 + 2x3 + x4) = 0 + 0 :
3x2 + 4x3 = 0 (Eq 8)

Passo 6

Da Eq. 8, podemos expressar 3x2 = -4x3 implies x2 = -43x3 em termos de :

Passo 7

Agora que temos x2 + 2x3 - x4 = 0 em termos de -43x3 + 2x3 - x4 = 0 , vamos voltar à Eq. 6 para encontrar (-43 + 2)x3 - x4 = 0 :
(23)x3 - x4 = 0 implies x4 = 23x3
Substituindo :

Passo 8

Agora, vamos usar a Eq. 1 para encontrar x1 + 3x2 + x4 = 0 :
x1 + 3(-43x3) + 23x3 = 0
Substituindo x1 - 4x3 + 23x3 = 0 e x1 - 103x3 = 0 implies x1 = 103x3 :

Passo 9

Por fim, vamos expressar x1 = 103t x2 = -43t x3 = t x4 = 23t como um parâmetro livre, já que não temos mais equações para restringir seu valor. Vamos chamar , onde é qualquer número real.
Então, as soluções são:

Resposta

A solução do sistema é dada por todos os vetores da forma:

[
x1 x2 x3 x4 = t cdot 103 -43 1 23

t \cdot

]
onde é um número real qualquer.

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