Mostre que as matrizes [rrr1 & 0 & 2 2 & -1 & 3 4 & 1 & 8] e [rrr-11 & 2 & 2 -4 & 0 & 1 6 & -1 & -1] são inversas uma da outra.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem um exercício de álgebra linear que pede pra mostrar que duas matrizes dadas são inversas uma da outra. Isso significa que, ao multiplicar uma pela outra, a gente deve obter a matriz identidade. Vamos precisar entender como multiplicar matrizes e saber o que é a matriz identidade.

Passo 2

Primeiro, vamos nomear as duas matrizes para facilitar. Vamos chamar a primeira de A = 1 & 0 & 2 2 & -1 & 3 4 & 1 & 8 , B = -11 & 2 & 2 -4 & 0 & 1 6 & -1 & -1 e a segunda de .

Passo 3

Agora, precisamos multiplicar por . A multiplicação de matrizes envolve somar o produto dos elementos das linhas de com as colunas de .

Passo 4

Vamos calcular o elemento na primeira linha e primeira coluna da matriz resultante:
(1)(-11) + (0)(-4) + (2)(6) = -11 + 0 + 12 = 1

Passo 5

Elemento na primeira linha e segunda coluna:
(1)(2) + (0)(0) + (2)(-1) = 2 + 0 - 2 = 0

Passo 6

Elemento na primeira linha e terceira coluna:
(1)(2) + (0)(1) + (2)(-1) = 2 + 0 - 2 = 0

Passo 7

Elemento na segunda linha e primeira coluna:
(2)(-11) + (-1)(-4) + (3)(6) = -22 + 4 + 18 = 0

Passo 8

Elemento na segunda linha e segunda coluna:
(2)(2) + (-1)(0) + (3)(-1) = 4 + 0 - 3 = 1

Passo 9

Elemento na segunda linha e terceira coluna:
(2)(2) + (-1)(1) + (3)(-1) = 4 - 1 - 3 = 0

Passo 10

Elemento na terceira linha e primeira coluna:
(4)(-11) + (1)(-4) + (8)(6) = -44 -4 + 48 = 0

Passo 11

Elemento na terceira linha e segunda coluna:
(4)(2) + (1)(0) + (8)(-1) = 8 + 0 - 8 = 0

Passo 12

Elemento na terceira linha e terceira coluna:
(4)(2) + (1)(1) + (8)(-1) = 8 + 1 - 8 = 1

Resposta

A multiplicação das matrizes A times B = 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 e resulta na matriz identidade:
Portanto, as matrizes são inversas uma da outra.

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