Dado duas bolas abertas e , encontre uma bola aberta que esteja na interseção de e .

Passo 1

Então, a gente tem duas bolas abertas no plano: a primeira, , está centrada na origem e tem raio . A segunda, , está centrada no ponto e tem raio . Nosso objetivo aqui é encontrar uma bola aberta que esteja dentro da interseção dessas duas bolas, ou seja, que esteja tanto em quanto em .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma bola aberta. No plano, uma bola aberta é o conjunto de todos os pontos cuja distância até o ponto central é menor que o raio . Ou seja, todos os pontos que satisfazem:
Isso significa que a bola inclui todos os pontos dentro de um círculo de raio centrado em , mas sem incluir a borda.

Passo 3

Agora, vamos visualizar a posição das duas bolas. A primeira bola está centrada na origem e vai até no eixo . A segunda bola está centrada em e tem um raio menor, . Isso significa que está completamente dentro de , já que , que ainda está dentro do raio de .

Passo 4

Para encontrar uma bola aberta que esteja na interseção de e , precisamos encontrar um ponto que esteja em ambas as bolas e determinar um raio que seja pequeno o suficiente para que a nova bola não saia de nenhuma das duas.

Passo 5

Vamos escolher o centro da segunda bola , que é , como o centro da nova bola que estamos procurando. Agora, precisamos escolher um raio que seja menor ou igual ao menor raio entre e , menos a distância do centro escolhido às bordas das bolas originais.

Passo 6

A distância do centro até a borda de é , mas na verdade, como está totalmente dentro de , o raio máximo que podemos escolher é o raio de , que é .

Passo 7

Portanto, a bola que estamos procurando é . Essa bola está totalmente dentro de ambas e , garantindo que ela esteja na interseção das duas.

Resposta

A bola aberta está na interseção de e .

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Esboce o sólido no primeiro octante delimitado pelos gráficos das equações e ache seu volume:
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral limitada pelo semicírculo e o eixo
Seja . Determine o domínio e a imagem de . Esboce no plano cartesiano o domínio de .
Considere a função dada por . Determine o seu domínio e a sua imagem. Determine também quais são suas curvas de nível e faça o esboço do gráfico.