Dado duas bolas abertas
e
, encontre uma bola aberta que esteja na interseção de
e
.
Passo 1
Então, a gente tem duas bolas abertas no plano: a primeira,
, está centrada na origem e tem raio
. A segunda,
, está centrada no ponto
e tem raio
. Nosso objetivo aqui é encontrar uma bola aberta que esteja dentro da interseção dessas duas bolas, ou seja, que esteja tanto em
quanto em
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma bola aberta. No plano, uma bola aberta
é o conjunto de todos os pontos cuja distância até o ponto central
é menor que o raio
. Ou seja, todos os pontos
que satisfazem:
Isso significa que a bola inclui todos os pontos dentro de um círculo de raio
centrado em
, mas sem incluir a borda.
Passo 3
Agora, vamos visualizar a posição das duas bolas. A primeira bola
está centrada na origem e vai até
no eixo
. A segunda bola
está centrada em
e tem um raio menor,
. Isso significa que
está completamente dentro de
, já que
, que ainda está dentro do raio de
.
Passo 4
Para encontrar uma bola aberta que esteja na interseção de
e
, precisamos encontrar um ponto que esteja em ambas as bolas e determinar um raio que seja pequeno o suficiente para que a nova bola não saia de nenhuma das duas.
Passo 5
Vamos escolher o centro da segunda bola
, que é
, como o centro da nova bola que estamos procurando. Agora, precisamos escolher um raio
que seja menor ou igual ao menor raio entre
e
, menos a distância do centro escolhido às bordas das bolas originais.
Passo 6
A distância do centro
até a borda de
é
, mas na verdade, como
está totalmente dentro de
, o raio máximo que podemos escolher é o raio de
, que é
.
Passo 7
Portanto, a bola que estamos procurando é
. Essa bola está totalmente dentro de ambas
e
, garantindo que ela esteja na interseção das duas.
Resposta
A bola aberta
está na interseção de
e
.
Exercícios relacionados
Esboce o sólido no primeiro octante delimitado pelos gráficos das equações e ache seu volume:
Por meio de coordenadas polares, calcule a integral
limitada pelo semicírculo
e o eixo
Seja
. Determine o domínio e a imagem de
. Esboce no plano cartesiano o domínio de
.
Considere a função dada por
. Determine o seu domínio e a sua imagem. Determine também quais são suas curvas de nível e faça o esboço do gráfico.