Sejam as funções reais
e
definidas por
e
Obtenha a lei que define
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções reais:
e a função composta
que é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de
. Nosso objetivo é descobrir qual é a função
.
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de função composta, que é quando aplicamos uma função dentro da outra. Também vamos precisar manipular expressões algébricas e entender como substituir uma função dentro da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
. Isso significa que a função
está recebendo como entrada o resultado da função
.
Sabemos que:
E que:
Nosso objetivo é encontrar
, onde
.
Passo 3
Vamos primeiro expressar
em termos de
. Já que
, podemos resolver para
:
Passo 4
Agora, vamos considerar as duas situações dadas na função composta, mas em termos de
:
-
Quando
: Se, substituindo , temos: Então, para, a expressão para é: Substituindo:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão para
quando
:
Passo 6
-
Quando
: Se, substituindo , temos: Então, para, a expressão para é: Substituindo:
Resposta
A função que define
é:
Exercícios relacionados
Considere a função em
definida por
. Descreva a lei que definem as seguintes funções
.
Dê o domínio:
.
Determine a solução geral e singular da equação de Clairouts
. Resp.: Sol. Geral:
; Sol. Singular:
Calcule as integrais definidas.