Sejam as funções reais g e f(g) definidas por g(x) = 2x - 3 e
(f o g)(x) = { 4x² - 6x - 1, se x ≥ 1; 4x + 3, se x < 1 }
Obtenha a lei que define f.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções reais: e a função composta que é definida de duas maneiras diferentes dependendo do valor de . Nosso objetivo é descobrir qual é a função .
Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de função composta, que é quando aplicamos uma função dentro da outra. Também vamos precisar manipular expressões algébricas e entender como substituir uma função dentro da outra.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que . Isso significa que a função está recebendo como entrada o resultado da função .
Sabemos que:
E que:
Nosso objetivo é encontrar , onde .

Passo 3

Vamos primeiro expressar em termos de . Já que , podemos resolver para :

Passo 4

Agora, vamos considerar as duas situações dadas na função composta, mas em termos de :
  1. Quando :
    Se , substituindo , temos:
    Então, para , a expressão para é:
    Substituindo :

Passo 5

Vamos simplificar a expressão para quando :

Passo 6

  1. Quando :
    Se , substituindo , temos:
    Então, para , a expressão para é:
    Substituindo :

Resposta

A função que define é:

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