Determine a solução geral e singular da equação de Clairouts
. Resp.: Sol. Geral:
; Sol. Singular:
Passo 1
Vamos resolver a equação de Clairouts dada por
. Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial de Clairouts, que envolve derivadas de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de equações diferenciais e entender como encontrar soluções gerais e soluções singulares.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar o trabalho. Vamos chamar a derivada de
em relação a
de
, ou seja,
. Substituindo isso na equação, temos:
Passo 3
Agora, vamos isolar
em termos de
:
Essa é uma equação que relaciona
,
e
. Para avançar, precisamos expressar
em função de
e
.
Passo 4
Vamos considerar que
é constante para encontrar a solução geral. Isso significa que podemos tratar
como uma constante
. Então, substituindo
na equação, temos:
Essa é a soluç��o geral da equação de Clairouts, onde
é uma constante arbitrária.
Passo 5
Para encontrar a solução singular, precisamos eliminar a constante
da solução geral. Para isso, vamos derivar a solução geral em relação a
:
Calculando a derivada:
Simplificando:
Passo 6
Agora, expressamos
em termos de
:
Substituindo
de volta na solução geral:
Simplificando:
E assim, chegamos à solução singular:
Resposta
Solução Geral:
Solução Singular: