Considere a função definida por
Seja , julgue as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta.
I. O máximo absoluto de é .
II. O mínimo absoluto de ocorre no ponto .
III. Existem dois pontos distintos na região em que assumi o valor de mínimo absoluto.
Escolha uma opção:
a. Apenas II é verdadeira.
b. Apenas I é verdadeira.
c. I e ll são verdadeiras.
d. I, Il e III são verdadeiras.
e. II e III são verdadeiras.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis, , definida no conjunto que é o círculo de raio 1 centrado na origem, ou seja, . A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente a busca de máximos e mínimos absolutos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos críticos da função dentro e na borda do domínio e comparar os valores da função nesses pontos.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função dentro do domínio . Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a e e as igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
A derivada parcial em relação a :
Igualando a zero:
Portanto, o ponto crítico é .

Passo 3

Agora, precisamos verificar se esse ponto crítico está dentro do domínio . Substituindo e na inequação de :
Como , o ponto está fora do domínio . Portanto, esse ponto não é considerado para os extremos absolutos dentro de .

Passo 4

Como não há pontos críticos dentro de , os extremos absolutos devem ocorrer na borda do domínio, ou seja, no círculo . Para encontrar os extremos na borda, podemos usar o método de Lagrange ou parametrizar a borda. Vamos parametrizar usando coordenadas polares:
Substituindo na função :
Sabemos que , então:
Para encontrar os máximos e mínimos dessa expressão, podemos reescrever na forma .

Passo 5

Calculando e :
E
Então,
Portanto,
Sabendo que o seno varia entre -1 e 1, os valores máximos e mínimos de serão:
á
í

Passo 6

Agora, observamos as afirmações:
I. O máximo absoluto de é – Isso está correto, conforme calculamos.
II. O mínimo absoluto de ocorre no ponto – Não, porque vimos que esse ponto está fora de .
III. Existem dois pontos distintos na região em que assume o valor de mínimo absoluto – Sim, pois a função atinge o valor de mínimo em dois pontos simétricos na borda do círculo.

Resposta

A alternativa correta é e. II e III são verdadeiras.

Exercícios relacionados

Questão 1 ( 1,5 pontos) Calcule o limite se possível:
Questão 1 ( 1,5 pontos) Calcule o limite se possível:
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Encontre a derivada da função.