Considere a função
definida por
Seja
, julgue as afirmações abaixo e assinale a alternativa correta.
I. O máximo absoluto de
é
.
II. O mínimo absoluto de
ocorre no ponto
.
III. Existem dois pontos distintos na região
em que
assumi o valor de mínimo absoluto.
Escolha uma opção:
a. Apenas II é verdadeira.
b. Apenas I é verdadeira.
c. I e ll são verdadeiras.
d. I, Il e III são verdadeiras.
e. II e III são verdadeiras.
I. O máximo absoluto de
II. O mínimo absoluto de
III. Existem dois pontos distintos na região
Escolha uma opção:
a. Apenas II é verdadeira.
b. Apenas I é verdadeira.
c. I e ll são verdadeiras.
d. I, Il e III são verdadeiras.
e. II e III são verdadeiras.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função de duas variáveis,
, definida no conjunto
que é o círculo de raio 1 centrado na origem, ou seja,
. A matéria que vamos usar aqui é cálculo multivariável, especificamente a busca de máximos e mínimos absolutos de funções de duas variáveis. Para resolver, vamos precisar encontrar os pontos críticos da função dentro e na borda do domínio
e comparar os valores da função nesses pontos.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função
dentro do domínio
. Para isso, calculamos as derivadas parciais em relação a
e
e as igualamos a zero.
A derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
A derivada parcial em relação a
:
Igualando a zero:
Portanto, o ponto crítico é
.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se esse ponto crítico está dentro do domínio
. Substituindo
e
na inequação de
:
Como
, o ponto
está fora do domínio
. Portanto, esse ponto não é considerado para os extremos absolutos dentro de
.
Passo 4
Como não há pontos críticos dentro de
, os extremos absolutos devem ocorrer na borda do domínio, ou seja, no círculo
. Para encontrar os extremos na borda, podemos usar o método de Lagrange ou parametrizar a borda. Vamos parametrizar usando coordenadas polares:
Substituindo na função
:
Sabemos que
, então:
Para encontrar os máximos e mínimos dessa expressão, podemos reescrever
na forma
.
Passo 5
Calculando
e
:
E
Então,
Portanto,
Sabendo que o seno varia entre -1 e 1, os valores máximos e mínimos de
serão:
Passo 6
Agora, observamos as afirmações:
I. O máximo absoluto de
é
– Isso está correto, conforme calculamos.
II. O mínimo absoluto de
ocorre no ponto
– Não, porque vimos que esse ponto está fora de
.
III. Existem dois pontos distintos na região
em que
assume o valor de mínimo absoluto – Sim, pois a função atinge o valor de mínimo em dois pontos simétricos na borda do círculo.
Resposta
A alternativa correta é e. II e III são verdadeiras.
Exercícios relacionados
Questão 1 ( 1,5 pontos) Calcule o limite se possível:
Questão 1 ( 1,5 pontos) Calcule o limite se possível:
Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
Encontre a derivada da função.