Questão 1 ( 1,5 pontos) Calcule o limite se possível:
lim (x, y) (0,0) x yraizx^2+y^2

Passo 1

Beleza, vamos analisar o problema que você enviou. A questão pede para calcular o limite quando se aproxima de da expressão . Estamos lidando com limites em duas variáveis, que fazem parte do estudo de Cálculo Multivariável. Para resolver isso, vamos verificar se o limite existe analisando diferentes caminhos que pode seguir para chegar a .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar simplificar a expressão usando coordenadas polares, que são muito úteis quando lidamos com limites no plano x = r costheta e y = r sintheta . Em coordenadas polares, temos:
onde é a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 3

Substituindo xyraizx^2+y^2 = (r costheta)(r sintheta)raiz(r costheta)^2 + (r sintheta)^2 e r^2 costheta sinthetar = r costheta sintheta na expressão original:
Isso simplifica para:

Passo 4

Agora, observamos que quando se aproxima de 0, o termo também tende a 0, pois está multiplicando os termos e , que são limitados entre -1 e 1.

Passo 5

Portanto, independentemente do valor de , conforme , a expressão . Isso indica que o limite é o mesmo para qualquer caminho que siga ao se aproximar de .

Resposta

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