Questão 1 ( 1,5 pontos) Calcule o limite se possível:
lim (x, y) (0,0) x^2 yx^4+y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função quando se aproxima de . Isso está dentro da matéria de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que ajudam a simplificar expressões quando trabalhamos com limites em dois ou mais parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas x = r cos theta e y = r sin theta por coordenadas polares , onde:
Aqui, representa a distância até a origem e é o ângulo.

Passo 3

Substituindo x^2 yx^4+y^2 = (r cos theta)^2 cdot (r sin theta)(r cos theta)^4 + (r sin theta)^2 e = r^2 cos^2 theta cdot r sin thetar^4 cos^4 theta + r^2 sin^2 theta = r^3 cos^2 theta sin thetar^4 cos^4 theta + r^2 sin^2 theta na função original:
Vamos simplificar o numerador e o denominador:

Passo 4

Agora, vamos fatorar = r^3 cos^2 theta sin thetar^2 (r^2 cos^4 theta + sin^2 theta) = r cos^2 theta sin thetar^2 cos^4 theta + sin^2 theta do denominador:
r cos^2 theta sin thetasin^2 theta = r cos^2 theta cdot sin thetasin^2 theta = r cos^2 theta cdot 1sin theta
À medida que se aproxima de 0, o termo no denominador se torna muito pequeno comparado a , então podemos aproximar:
Mas, como está multiplicando tudo e está indo para 0, o limite dessa expressão quando será 0.

Resposta

lim (x, y) (0,0) x^2 yx^4+y^2 = 0

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