Questão 1 ( 1,5 pontos) Calcule o limite se possível:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular o limite da função
quando
se aproxima de
. Isso está dentro da matéria de limites de funções de várias variáveis. Para resolver, vamos usar coordenadas polares, que ajudam a simplificar expressões quando trabalhamos com limites em dois ou mais parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos trocar as coordenadas cartesianas
por coordenadas polares
, onde:
Aqui,
representa a distância até a origem
e
é o ângulo.
Passo 3
Substituindo
e
na função original:
Vamos simplificar o numerador e o denominador:
Passo 4
Agora, vamos fatorar
do denominador:
À medida que
se aproxima de 0, o termo
no denominador se torna muito pequeno comparado a
, então podemos aproximar:
Mas, como
está multiplicando tudo e está indo para 0, o limite dessa expressão quando
será 0.