Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para encontrar a derivada da função.
F(x)=integralx^pi raiz1+sec t d t
[ Dica: integralx^pi raiz1+sec t d t=-integralpi^x raiz1+sec t d t]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada usando o Teorema Fundamental do Cálculo. A gente precisa achar a derivada da função . Para isso, vamos usar algumas propriedades de derivação de integrais definidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema Fundamental do Cálculo, Parte 1. Ele diz que se você tem uma função definida por uma integral com o limite superior variável, tipo , então a derivada dessa função é simplesmente .

Passo 3

No nosso caso, a integral está de integralx^pi raiz1+sec t , dt = -integralpi^x raiz1+sec t , dt até , então o limite inferior é variável. Para aplicar o teorema direto, vamos usar a dica que transforma a integral:
Assim, .

Passo 4

Agora, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo na forma que temos, a derivada de F'(x) = -raiz1 + sec x cdot ddx(x) = -raiz1 + sec x vai ser:
Aqui, derivamos a integral com limite superior , multiplicando pelo derivado de , que é 1.

Resposta

A derivada da função é .

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