Considere a função
definida por
Existe um vetor unitário
tal que
é o máximo valor possível? Isto é, estando-se em
existe direção de máximo crescimento?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos se existe um vetor unitário
tal que a derivada direcional de
no ponto
na direção de
atinge o valor máximo possível. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradiente. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas direcionais e verificar se existe uma direção de crescimento máximo no ponto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função
em um ponto
na direção de um vetor unitário
é dada por:
No nosso caso, queremos calcular
.
Passo 3
Vamos calcular essa derivada direcional para a função dada:
Substituindo na definição:
Passo 4
Vamos substituir
e
na expressão de
:
Passo 5
Agora, substituindo de volta na derivada direcional:
Quando
, o termo
tende a zero, então:
Passo 6
Queremos maximizar
sob a condição de que
é um vetor unitário, ou seja:
Podemos expressar
em termos de
:
Então, a derivada direcional fica:
Passo 7
Para maximizar essa expressão, vamos considerar
. Calculando a derivada em relação a
:
Derivando:
Igualando a zero e resolvendo, encontramos que o máximo ocorre quando
. Porém, nesse caso,
, o que faz com que a expressão original
se torne indefinida.
Passo 8
Isso indica que não existe um valor máximo finito para
dentro das condições dadas. Portanto, a derivada direcional pode crescer sem limite conforme
se aproxima de 1 e
de 0.
Resposta
Não existe um vetor unitário
tal que
atinja um valor máximo finito. Ou seja, em
não há uma direção de crescimento máximo definida para a função
.
Exercícios relacionados
Determine o vetor gradiente da função em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
:
e
Seja
onde
e
são diferenciáveis, e suponha que
Determine
e
Use a regra da cadeia para determinar as derivadas: se
, onde
e
, determine
e
.
Determine
e
, para
definida implicitamente por: