Considere a função definida por
Existe um vetor unitário tal que é o máximo valor possível? Isto é, estando-se em existe direção de máximo crescimento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos se existe um vetor unitário tal que a derivada direcional de no ponto na direção de atinge o valor máximo possível. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradiente. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas direcionais e verificar se existe uma direção de crescimento máximo no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função em um ponto na direção de um vetor unitário é dada por:
No nosso caso, queremos calcular .

Passo 3

Vamos calcular essa derivada direcional para a função dada:
Substituindo na definição:

Passo 4

Vamos substituir e na expressão de :

Passo 5

Agora, substituindo de volta na derivada direcional:
Quando , o termo tende a zero, então:

Passo 6

Queremos maximizar sob a condição de que é um vetor unitário, ou seja:
Podemos expressar em termos de :
Então, a derivada direcional fica:

Passo 7

Para maximizar essa expressão, vamos considerar . Calculando a derivada em relação a :
Derivando:
Igualando a zero e resolvendo, encontramos que o máximo ocorre quando . Porém, nesse caso, , o que faz com que a expressão original se torne indefinida.

Passo 8

Isso indica que não existe um valor máximo finito para dentro das condições dadas. Portanto, a derivada direcional pode crescer sem limite conforme se aproxima de 1 e de 0.

Resposta

Não existe um vetor unitário tal que atinja um valor máximo finito. Ou seja, em não há uma direção de crescimento máximo definida para a função .

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Determine o vetor gradiente da função em e a derivada direcional em na direção do vetor : e
Seja onde e são diferenciáveis, e suponha que
Determine e
Use a regra da cadeia para determinar as derivadas: se , onde e , determine e .
Determine e , para definida implicitamente por: