Considere a função f: R^2 R definida por
f(x, y)= x y^2x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0 & se (x, y)=(0,0)
Existe um vetor unitário u tal que partial fpartial u(0,0) é o máximo valor possível? Isto é, estando-se em (0,0) existe direção de máximo crescimento?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para analisarmos se existe um vetor unitário tal que a derivada direcional de no ponto na direção de atinge o valor máximo possível. Isso está dentro do conteúdo de cálculo multivariável, especificamente sobre derivadas direcionais e gradiente. Para resolver, vamos precisar entender como calcular derivadas direcionais e verificar se existe uma direção de crescimento máximo no ponto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada direcional de uma função partial fpartial u(a,b) = limh to 0 f(a + h u1, b + h u2) - f(a,b)h em um ponto na direção de um vetor unitário é dada por:
No nosso caso, queremos calcular .

Passo 3

Vamos calcular essa derivada direcional para a função dada:
f(x, y) = x y^2x^2+y^4, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)
Substituindo na definição:
partial fpartial u(0,0) = limh to 0 f(h u1, h u2) - 0h = limh to 0 f(h u1, h u2)h

Passo 4

Vamos substituir f(h u1, h u2) = h u1 (h u2)^2(h u1)^2 + (h u2)^4 = h u1 h^2 u2^2h^2 u1^2 + h^4 u2^4 = h^3 u1 u2^2h^2 (u1^2 + h^2 u2^4) = h u1 u2^2u1^2 + h^2 u2^4 e na expressão de :

Passo 5

Agora, substituindo de volta na derivada direcional:
partial fpartial u(0,0) = limh to 0 h u1 u2^2h (u1^2 + h^2 u2^4) = limh to 0 u1 u2^2u1^2 + h^2 u2^4
Quando partial fpartial u(0,0) = u1 u2^2u1^2 = u2^2u1 , o termo tende a zero, então:

Passo 6

Queremos maximizar u1^2 + u2^2 = 1 sob a condição de que u1 = raiz1 - u2^2 é um vetor unitário, ou seja:
u2^2raiz1 - u2^2
Podemos expressar em termos de :
Então, a derivada direcional fica:

Passo 7

Para maximizar essa expressão, vamos considerar g(u2) = u2^2raiz1 - u2^2 . Calculando a derivada em relação a g'(u2) = 2 u2 raiz1 - u2^2 + u2^3(1 - u2^2)^3/2 :
Derivando:
Igualando a zero e resolvendo, encontramos que o máximo ocorre quando . Porém, nesse caso, , o que faz com que a expressão original se torne indefinida.

Passo 8

Isso indica que não existe um valor máximo finito para dentro das condições dadas. Portanto, a derivada direcional pode crescer sem limite conforme se aproxima de 1 e de 0.

Resposta

Não existe um vetor unitário tal que atinja um valor máximo finito. Ou seja, em não há uma direção de crescimento máximo definida para a função .

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