Determine o vetor gradiente da função em e a derivada direcional em na direção do vetor : e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função no ponto e também a derivada direcional nesse mesmo ponto na direção do vetor . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e vetores unitários.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o gradiente da função. O gradiente é um vetor que contém as derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Para achar a derivada direcional, precisamos primeiro transformar o vetor em um vetor unitário. Isso é feito dividindo o vetor pelo seu módulo (comprimento):
Agora, a derivada direcional é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Resposta

O vetor gradiente da função em é e a derivada direcional nessa direção é .

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Determine e
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