Determine o vetor gradiente da função em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
:
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o vetor gradiente da função
no ponto
e também a derivada direcional nesse mesmo ponto na direção do vetor
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas parciais e vetores unitários.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o gradiente da função. O gradiente
é um vetor que contém as derivadas parciais de
em relação a
e
. Ou seja:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais de
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Para achar a derivada direcional, precisamos primeiro transformar o vetor
em um vetor unitário. Isso é feito dividindo o vetor pelo seu módulo (comprimento):
Agora, a derivada direcional
é o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Resposta
O vetor gradiente da função em
é
e a derivada direcional nessa direção é
.
Exercícios relacionados
Seja
onde
e
são diferenciáveis, e suponha que
Determine
e
Considere a função
definida por
Existe um vetor unitário
tal que
é o máximo valor possível? Isto é, estando-se em
existe direção de máximo crescimento?
Use a regra da cadeia para determinar as derivadas: se
, onde
e
, determine
e
.