Determine e , para definida implicitamente por:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas parciais. A gente tem a função definida de forma implícita pela equação . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando a função não está isolada em um dos lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é diferenciação implícita. Quando uma função está definida de forma implícita, significa que ela não está isolada, e precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação à variável de interesse, aplicando as regras de derivação corretamente.
Nesse caso, temos e a equação . Vamos tratar como uma função de e , ou seja, .

Passo 3

Vamos começar encontrando . Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a :
Aplicando as regras de derivação:
Agora, vamos isolar :
Fatorando :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar . Diferenciamos novamente a equação original, mas desta vez em relação a :
Aplicando as regras de derivação:
Vamos isolar :
Fatorando :
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

Use a regra da cadeia para determinar as derivadas: se , onde e , determine e .
Considere a função definida por
Existe um vetor unitário tal que é o máximo valor possível? Isto é, estando-se em existe direção de máximo crescimento?
Determine a taxa de variação máxima da função em e a direção em que isso ocorre.
Determine a taxa de variação máxima da função em e a direção em que isso ocorre. .