Determine partial zpartial x e partial zpartial y, para z=f(x, y) definida implicitamente por: y z+x ln y=z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas parciais. A gente tem a função definida de forma implícita pela equação . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais e . Para isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando a função não está isolada em um dos lados da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é diferenciação implícita. Quando uma função está definida de forma implícita, significa que ela não está isolada, e precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação à variável de interesse, aplicando as regras de derivação corretamente.
Nesse caso, temos e a equação . Vamos tratar como uma função de e , ou seja, .

Passo 3

Vamos começar encontrando partialpartial x (y z) + partialpartial x (x ln y) = partialpartial x (z^2) . Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a y partial zpartial x + ln y = 2 z partial zpartial x :
y partial zpartial x - 2 z partial zpartial x = -ln y
Aplicando as regras de derivação:
( y - 2 z ) partial zpartial x = -ln y
Agora, vamos isolar partial zpartial x = -ln y y - 2 z :
Fatorando :
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar partialpartial y (y z) + partialpartial y (x ln y) = partialpartial y (z^2) . Diferenciamos novamente a equação original, mas desta vez em relação a z + y partial zpartial y + x cdot 1y = 2 z partial zpartial y :
y partial zpartial y - 2 z partial zpartial y = -z - xy
Aplicando as regras de derivação:
( y - 2 z ) partial zpartial y = -z - xy
Vamos isolar partial zpartial y = -z - xy y - 2 z :
Fatorando :
Portanto:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -ln y y - 2 z
e
partial zpartial y = -z - xy y - 2 z

Exercícios relacionados