Determine
e
, para
definida implicitamente por:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que envolve derivadas parciais. A gente tem a função
definida de forma implícita pela equação
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais
e
. Para isso, vamos usar o método de diferenciação implícita, que é uma técnica para encontrar derivadas quando a função não está isolada em um dos lados da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é diferenciação implícita. Quando uma função está definida de forma implícita, significa que ela não está isolada, e precisamos diferenciar ambos os lados da equação em relação à variável de interesse, aplicando as regras de derivação corretamente.
Nesse caso, temos
e a equação
. Vamos tratar
como uma função de
e
, ou seja,
.
Passo 3
Vamos começar encontrando
. Para isso, diferenciamos ambos os lados da equação em relação a
:
Aplicando as regras de derivação:
Agora, vamos isolar
:
Fatorando
:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar
. Diferenciamos novamente a equação original, mas desta vez em relação a
:
Aplicando as regras de derivação:
Vamos isolar
:
Fatorando
:
Portanto:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Use a regra da cadeia para determinar as derivadas: se
, onde
e
, determine
e
.
Considere a função
definida por
Existe um vetor unitário
tal que
é o máximo valor possível? Isto é, estando-se em
existe direção de máximo crescimento?
Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.
Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.
.