Use a regra da cadeia para determinar as derivadas: se z=e^yx, onde x=2 u cos v e y=4 u sen v, determine partial zpartial u e partial zpartial v.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a regra da cadeia pra encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função que a gente tem é , onde e . Então, vamos precisar saber como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de partial zpartial x = e^yx cdot (-yx^2) em relação a partial zpartial y = e^yx cdot (1x) e . Como , usamos a regra da derivada para exponenciais:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de partial xpartial u = 2 cos v e partial xpartial v = -2u sen v em relação a partial ypartial u = 4 sen v e partial ypartial v = 4u cos v :
Para :
Para :

Passo 4

Agora é hora de aplicar a regra da cadeia para encontrar partial zpartial u = partial zpartial x cdot partial xpartial u + partial zpartial y cdot partial ypartial u e partial zpartial u = e^yx (-yx^2 cdot 2 cos v + 1x cdot 4 sen v) :
Para partial zpartial v = partial zpartial x cdot partial xpartial v + partial zpartial y cdot partial ypartial v :
partial zpartial v = e^yx (-yx^2 cdot (-2u sen v) + 1x cdot 4u cos v)
Substituindo as derivadas que encontramos:
Para :
Substituindo as derivadas:

Resposta

As derivadas parciais de partial zpartial u = e^yx (-yx^2 cdot 2 cos v + 1x cdot 4 sen v) são:

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