Use a regra da cadeia para determinar as derivadas: se
, onde
e
, determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a regra da cadeia pra encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. A função que a gente tem é
, onde
e . Então, vamos precisar saber como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
. Como
, usamos a regra da derivada para exponenciais:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Para
:
Para :
Passo 4
Agora é hora de aplicar a regra da cadeia para encontrar
e
:
Para
:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Para
:
Substituindo as derivadas:
Resposta
As derivadas parciais de
são:
Exercícios relacionados
Considere a função
definida por
Existe um vetor unitário
tal que
é o máximo valor possível? Isto é, estando-se em
existe direção de máximo crescimento?
Determine o vetor gradiente da função em
e a derivada direcional em
na direção do vetor
:
e
Determine
e
, para
definida implicitamente por:
Determine a taxa de variação máxima da função em
e a direção em que isso ocorre.