Use a regra da cadeia para determinar as derivadas: se , onde e , determine e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa usar a regra da cadeia pra encontrar as derivadas parciais de em relação a e . A função que a gente tem é , onde e . Então, vamos precisar saber como derivar funções compostas e aplicar a regra da cadeia passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e . Como , usamos a regra da derivada para exponenciais:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de e em relação a e :
Para :
Para :

Passo 4

Agora é hora de aplicar a regra da cadeia para encontrar e :
Para :
Substituindo as derivadas que encontramos:
Para :
Substituindo as derivadas:

Resposta

As derivadas parciais de são:

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Considere a função definida por
Existe um vetor unitário tal que é o máximo valor possível? Isto é, estando-se em existe direção de máximo crescimento?
Determine o vetor gradiente da função em e a derivada direcional em na direção do vetor : e
Determine e , para definida implicitamente por:
Determine a taxa de variação máxima da função em e a direção em que isso ocorre.