Seja
onde
e
são diferenciáveis, e suponha que
Determine
e
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função composta
, onde
,
e
são funções diferenciáveis. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
. Para isso, vamos usar o Regra da Cadeia em cálculo multivariável, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que
depende de
e
tanto diretamente através de
e
quanto indiretamente através de
, onde
e
. Para encontrar
e
, aplicaremos a Regra da Cadeia:
Passo 3
Agora, vamos substituir os valores que foram fornecidos no enunciado. Sabemos que no ponto
:
Além disso, precisamos das derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto onde
e
:
Passo 4
Vamos agora calcular
usando a fórmula da Regra da Cadeia:
Substituindo os valores:
Passo 5
Agora, vamos calcular
da mesma forma:
Substituindo os valores: