Seja F(u, v)=f(g(u, v), h(u, v))=f(x, y) onde f, g e h são diferenciáveis, e suponha que
g(1,0)=2, partial gpartial u(1,0)=-2, partial gpartial v(1,0)=6, e partial fpartial x(2,3)=-1
h(1,0)=3, partial hpartial u(3,5)=-2, partial hpartial v(1,0)=4, e partial fpartial y(2,3)=10
Determine partial Fpartial u(1,0) e partial Fpartial v(1,0)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma função composta , onde , e são funções diferenciáveis. O objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Para isso, vamos usar o Regra da Cadeia em cálculo multivariável, que nos ajuda a derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que partial Fpartial u = partial fpartial x cdot partial gpartial u + partial fpartial y cdot partial hpartial u depende de partial Fpartial v = partial fpartial x cdot partial gpartial v + partial fpartial y cdot partial hpartial v e tanto diretamente através de e quanto indiretamente através de , onde e . Para encontrar e , aplicaremos a Regra da Cadeia:

Passo 3

Agora, vamos substituir os valores que foram fornecidos no enunciado. Sabemos que no ponto :
Além disso, precisamos das derivadas parciais de em relação a e no ponto onde e :

Passo 4

Vamos agora calcular partial Fpartial u(1, 0) = partial fpartial x(2, 3) cdot partial gpartial u(1, 0) + partial fpartial y(2, 3) cdot partial hpartial u(1, 0) usando a fórmula da Regra da Cadeia:
partial Fpartial u(1, 0) = (-1) cdot (-2) + 10 cdot (-2) = 2 - 20 = -18
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos calcular partial Fpartial v(1, 0) = partial fpartial x(2, 3) cdot partial gpartial v(1, 0) + partial fpartial y(2, 3) cdot partial hpartial v(1, 0) da mesma forma:
partial Fpartial v(1, 0) = (-1) cdot 6 + 10 cdot 4 = -6 + 40 = 34
Substituindo os valores:

Resposta

partial Fpartial u(1, 0) = -18 e partial Fpartial v(1, 0) = 34

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