Considere a função f: R R definida por
f(x)=l 2+x^34, se x<0 x^2-x-2, se 0<3 16-4 x, se x >= 3
Calcule integral-2^5 f(x) d x e também a área entre o gráfico de f e o eixo O x, de x=-2 até x=5. Por que estes valores são distintos?

Passo 1

Resumo do Enunciado e Conteúdo Necessário
Vamos resolver o exercício que nos pede para calcular a integral definida da função f(x) = 2 + dfracx^34, & se x < 0 x^2 - x - 2, & se 0 <= x < 3 16 - 4x, & se x >= 3 no intervalo de até e também a área entre o gráfico de e o eixo nesse mesmo intervalo. A função é definida de forma diferente em três intervalos:
Para resolver esse exercício, vamos precisar utilizar conceitos de cálculo integral e entender a diferença entre a integral definida e a área sob o gráfico da função.

Passo 2

Dividindo o Intervalo em Partes
Como a função é definida de forma diferente em três intervalos ( , e ), vamos dividir o intervalo de integração de a nessas três partes para facilitar o cálculo.

Passo 3

Calculando a Integral de integral-2^0 (2 + dfracx^34) dx a integral 2 , dx = 2x onde integral dfracx^34 , dx = dfrac14 cdot dfracx^44 = dfracx^416
A integral nessa parte é:
2x + dfracx^416 gr|-2^0
Vamos integrar termo a termo:
2(0) + dfrac0^416 = 0
2(-2) + dfrac(-2)^416 = -4 + dfrac1616 = -4 + 1 = -3
Então, a integral fica:
integral-2^0 f(x) dx = 0 - (-3) = 3
Calculando nos limites:
  • Em :
  • Em :
Portanto:

Passo 4

Calculando a Integral de integral0^3 (x^2 - x - 2) dx a integral x^2 , dx = dfracx^33 onde integral -x , dx = -dfracx^22
A integral nessa parte é:
integral -2 , dx = -2x
Integrando termo a termo:
dfracx^33 - dfracx^22 - 2x gr|0^3
dfrac273 - dfrac92 - 6 = 9 - 4,5 - 6 = -1,5
0 - 0 - 0 = 0
Então, a integral fica:
integral0^3 f(x) dx = -1,5 - 0 = -1,5
Calculando nos limites:
  • Em :
  • Em :
Portanto:

Passo 5

Calculando a Integral de integral3^5 (16 - 4x) dx a integral 16 , dx = 16x onde integral -4x , dx = -2x^2
A integral nessa parte é:
16x - 2x^2 gr|3^5
Integrando termo a termo:
16(5) - 2(5)^2 = 80 - 50 = 30
16(3) - 2(3)^2 = 48 - 18 = 30
Então, a integral fica:
integral3^5 f(x) dx = 30 - 30 = 0
Calculando nos limites:
  • Em :
  • Em :
Portanto:

Passo 6

Somando as Integrais das Partes
Agora, somamos as integrais de cada parte para obter a integral total de integral-2^5 f(x) dx = 3 + (-1,5) + 0 = 1,5 a :

Passo 7

Calculando a Área entre o Gráfico de 3 + dfrac103 + dfrac116 + 2 + 2 = dfrac186 + dfrac206 + dfrac116 + dfrac126 + dfrac126 = dfrac736 approx 12,17 e o Eixo
Para calcular a área, precisamos considerar o valor absoluto das áreas onde a função está abaixo do eixo .
  1. De a :
    • Área:
  2. De a :
    • Integral:
    • Área:
  3. De a :
    • Integral:
    • Área:
  4. De a :
    • Integral:
    • Área:
  5. De a :
    • Integral:
    • Área:
Somando todas as áreas:

Resposta

A integral de de a é e a área entre o gráfico de e o eixo nesse intervalo é aproximadamente . Esses valores são distintos porque, na integral, as áreas abaixo do eixo são consideradas negativas, enquanto na área total apenas o tamanho dessas áreas é levado em conta, tratando todas como positivas.

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