Série de Potências: Determine o raio de convergência da seguinte série de potências:
29. Expansão em Série de Taylor: Expanda a função
em uma série de Taylor ao redor de
(série de Maclaurin).
29. Expansão em Série de Taylor: Expanda a função
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa expandir a função
em uma série de Taylor em torno de
, que também é conhecida como série de Maclaurin. Para isso, vamos precisar saber como funciona a série de Taylor, calcular as derivadas da função
em
e montar a série usando essas informações.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. A fórmula geral da série de Taylor de uma função
em torno de
é:
Quando escolhemos
, essa série se chama série de Maclaurin:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas de
e avaliá-las em
. Sabemos que as derivadas da função seno se repetem a cada quatro derivações:
E assim por diante.
Passo 4
Vamos agora avaliar essas derivadas em
:
Percebemos que as derivadas pares (
par) avaliam para 0 e as derivadas ímpares seguem o padrão
Passo 5
Agora, vamos montar a série de Maclaurin usando os valores calculados:
Substituindo os valores das derivadas:
Simplificando os termos que são zero:
Passo 6
Observamos que a série segue um padrão onde os termos ímpares de
aparecem com sinais alternados. A fórmula geral para a série de Maclaurin da função seno é:
Isso significa que cada termo
é dado por
, onde
começa em 0 e vai até o infinito.
Resposta
A expansão da função
em uma série de Taylor em torno de
(série de Maclaurin) é: