Série de Potências: Determine o raio de convergência da seguinte série de potências: sumn=1^infty (x-2)^nn 4^n
29. Expansão em Série de Taylor: Expanda a função f(x)=sin (x) em uma série de Taylor ao redor de x=0 (série de Maclaurin).

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente precisa expandir a função em uma série de Taylor em torno de , que também é conhecida como série de Maclaurin. Para isso, vamos precisar saber como funciona a série de Taylor, calcular as derivadas da função em e montar a série usando essas informações.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma série de Taylor. É uma maneira de representar uma função como uma soma infinita de termos calculados a partir das derivadas da função em um ponto específico. A fórmula geral da série de Taylor de uma função f(x) = sumn=0^infty f^(n)(a)n! (x - a)^n em torno de f(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n é:
Quando escolhemos , essa série se chama série de Maclaurin:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de f(x) &= sin(x) f'(x) &= cos(x) f''(x) &= -sin(x) f'''(x) &= -cos(x) f^(4)(x) &= sin(x) e avaliá-las em . Sabemos que as derivadas da função seno se repetem a cada quatro derivações:
E assim por diante.

Passo 4

Vamos agora avaliar essas derivadas em f(0) &= sin(0) = 0 f'(0) &= cos(0) = 1 f''(0) &= -sin(0) = 0 f'''(0) &= -cos(0) = -1 f^(4)(0) &= sin(0) = 0 &vdots :
Percebemos que as derivadas pares ( par) avaliam para 0 e as derivadas ímpares seguem o padrão

Passo 5

Agora, vamos montar a série de Maclaurin usando os valores calculados:
sin(x) = sumn=0^infty f^(n)(0)n! x^n
Substituindo os valores das derivadas:
sin(x) = 00! x^0 + 11! x^1 + 02! x^2 + -13! x^3 + 04! x^4 + 15! x^5 + dots
Simplificando os termos que são zero:
sin(x) = x - x^33! + x^55! - x^77! + dots

Passo 6

Observamos que a série segue um padrão onde os termos ímpares de sin(x) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! x^2n+1 aparecem com sinais alternados. A fórmula geral para a série de Maclaurin da função seno é:
Isso significa que cada termo é dado por , onde começa em 0 e vai até o infinito.

Resposta

A expansão da função sin(x) = x - x^33! + x^55! - x^77! + dots = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! x^2n+1 em uma série de Taylor em torno de (série de Maclaurin) é:

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