Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada: 1 $\oint_{c}\left(y^{2} d x+x^{2} d z\right)$, onde $C$ é o contorno da parte do plano $2 x+y+z=4$ que está no $l^{\text {a }}$ octante, no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona integrais de linha com integrais de superfície, que é muito útil em cálculos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o campo vetorial envolvido, calcular o rotacional desse campo e parametrizar a superfície limitada pelo contorno
.
Passo 2
Primeiro, identificamos o campo vetorial
associado à integral de linha:
Aqui,
é a componente
e
é a componente
, já que não há termo
.
Passo 3
Segundo, aplicamos o Teorema de Stokes, que nos diz que:
Onde
é o rotacional de
e
é o vetor normal à superfície
.
Passo 4
Calculamos o rotacional de
:
Calculando o determinante:
Passo 5
Agora, parametrizamos a superfície
que está no primeiro octante e no plano
. Podemos resolver para
:
Para o primeiro octante,
,
,
. Então, os limites para
e
são:
Passo 6
Calculamos o vetor normal
. Como a superfície é plana, o vetor normal é constante e pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis na equação do plano:
Para usar o Teorema de Stokes, precisamos da orientação correta. Como a orientação é anti-horária, mantemos o vetor normal conforme calculado.
Passo 7
Calculamos o produto escalar
:
Passo 8
Agora, configuramos a integral de superfície:
Como a superfície é plana,
pode ser expresso em termos de
, ajustando para a inclinação do plano. No entanto, para simplificar, usamos a projeção no plano
e incluímos o fator de inclinação, que é a magnitude do vetor normal dividido pela componente
:
Mas como o integrando já está ajustado para a orientação, podemos proceder diretamente:
Para simplificar, consideramos a projeção sem o fator, pois já estamos ajustando a orientação.
Passo 9
Integramos sobre os limites de
e
:
Primeiro, integramos em relação a
:
Então, temos:
Integrando em relação a
:
Resposta
A integral de linha
vale
.
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<div>(a) Verifique que <span class="math-inline ">
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<div>(a) Verifique que <span class="math-inline ">
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