Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
1
ointc(y^2 d x+x^2 d z), onde C é o contorno da parte do plano 2 x+y+z=4 que está no l^ a octante, no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha ointC(y^2 dx + x^2 dz) usando o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona integrais de linha com integrais de superfície, que é muito útil em cálculos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o campo vetorial envolvido, calcular o rotacional desse campo e parametrizar a superfície limitada pelo contorno C.

Passo 2

Primeiro, identificamos o campo vetorial F associado à integral de linha:
F = lang<= y^2, 0, x^2 rang<=
Aqui, y^2 é a componente x e x^2 é a componente z, já que não há termo dy.

Passo 3

Segundo, aplicamos o Teorema de Stokes, que nos diz que:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde nabla times F é o rotacional de F e n é o vetor normal à superfície S.

Passo 4

Calculamos o rotacional de F:
nabla times F = | ccc i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y^2 & 0 & x^2 |
Calculando o determinante:
nabla times F = (0 - 0)i - (0 - 0)j + (0 - 2y)k = lang<= 0, 0, -2y rang<=

Passo 5

Agora, parametrizamos a superfície S que está no primeiro octante e no plano 2x + y + z = 4. Podemos resolver para z:
z = 4 - 2x - y
Para o primeiro octante, x, y, z >= 0. Então, os limites para x e y são:
0 <= x <= 2 (quando y = 0)
0 <= y <= 4 - 2x (para cada x)

Passo 6

Calculamos o vetor normal n. Como a superfície é plana, o vetor normal é constante e pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis na equação do plano:
n = lang<= 2, 1, 1 rang<=
Para usar o Teorema de Stokes, precisamos da orientação correta. Como a orientação é anti-horária, mantemos o vetor normal conforme calculado.

Passo 7

Calculamos o produto escalar (nabla times F) cdot n:
lang<= 0, 0, -2y rang<= cdot lang<= 2, 1, 1 rang<= = (0)(2) + (0)(1) + (-2y)(1) = -2y

Passo 8

Agora, configuramos a integral de superfície:
integral duplaS -2y , dS
Como a superfície é plana, dS pode ser expresso em termos de dx , dy, ajustando para a inclinação do plano. No entanto, para simplificar, usamos a projeção no plano xy e incluímos o fator de inclinação, que é a magnitude do vetor normal dividido pela componente z:
dS = |n||nz| dx , dy = raiz2^2 + 1^2 + 1^21 dx , dy = raiz6 , dx , dy
Mas como o integrando já está ajustado para a orientação, podemos proceder diretamente:
integral dupla -2y cdot 1raiz6 , dx , dy
Para simplificar, consideramos a projeção sem o fator, pois já estamos ajustando a orientação.

Passo 9

Integramos sobre os limites de x e y:
integral0^2 integral0^4-2x -2y , dy , dx
Primeiro, integramos em relação a y:
integral0^4-2x -2y , dy = -2 [ y^22 ]0^4-2x = - [ (4-2x)^2 - 0 ] = - (16 - 16x + 4x^2)
Então, temos:
integral0^2 (-16 + 16x - 4x^2) , dx
Integrando em relação a x:
-16x + 8x^2 - 43x^3 g|0^2 = ( -32 + 32 - 323 ) - 0 = -323

Resposta

A integral de linha ointC(y^2 dx + x^2 dz) vale -dfrac323.

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