Nos exercícios de 1 a 9, usar o Teorema de Stokes para determinar a integral de linha dada:
1 , onde é o contorno da parte do plano que está no octante, no sentido anti-horário.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral de linha usando o Teorema de Stokes. Esse teorema relaciona integrais de linha com integrais de superfície, que é muito útil em cálculos vetoriais. Para resolver, vamos precisar entender o campo vetorial envolvido, calcular o rotacional desse campo e parametrizar a superfície limitada pelo contorno .
Passo 2
Primeiro, identificamos o campo vetorial associado à integral de linha:
Aqui, é a componente e é a componente , já que não há termo .
Passo 3
Segundo, aplicamos o Teorema de Stokes, que nos diz que:
Onde é o rotacional de e é o vetor normal à superfície .
Agora, parametrizamos a superfície S que está no primeiro octante e no plano 2x + y + z = 4. Podemos resolver para z:
z = 4 - 2x - y
Para o primeiro octante, x, y, z >= 0. Então, os limites para x e y são:
0 <= x <= 2 (quando y = 0)
0 <= y <= 4 - 2x (para cada x)
Passo 6
Calculamos o vetor normal n. Como a superfície é plana, o vetor normal é constante e pode ser obtido a partir dos coeficientes das variáveis na equação do plano:
n = lang<= 2, 1, 1 rang<=
Para usar o Teorema de Stokes, precisamos da orientação correta. Como a orientação é anti-horária, mantemos o vetor normal conforme calculado.
Passo 7
Calculamos o produto escalar (nabla times F) cdot n:
Como a superfície é plana, dS pode ser expresso em termos de dx , dy, ajustando para a inclinação do plano. No entanto, para simplificar, usamos a projeção no plano xy e incluímos o fator de inclinação, que é a magnitude do vetor normal dividido pela componente z:
dS = |n||nz| dx , dy = raiz2^2 + 1^2 + 1^21 dx , dy = raiz6 , dx , dy
Mas como o integrando já está ajustado para a orientação, podemos proceder diretamente:
integral dupla -2y cdot 1raiz6 , dx , dy
Para simplificar, consideramos a projeção sem o fator, pois já estamos ajustando a orientação.