Considere a função definida por
. Usando o exercício anterior encontre
para
. (Tal processo é conhecido como derivação logarítmica.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a derivada da função
usando derivação logarítmica. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre como derivar funções que são produtos ou quocientes de funções mais simples. A derivação logarítmica é útil aqui porque facilita a diferenciação quando temos potências e produtos.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso nos ajuda a simplificar a função usando propriedades dos logaritmos que transformam multiplicações em somas e potências em multiplicações, facilitando a derivação. Então, começamos com:
Passo 3
Agora, vamos usar as propriedades dos logaritmos para separar os termos. Lembre-se que
e
. Aplicando isso, temos:
Passo 4
Em seguida, vamos trazer os expoentes para frente dos logaritmos, usando a propriedade
. Assim, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
. Lembre-se que a derivada de
é
. Fazendo isso, obtemos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão da derivada:
Passo 7
Agora, isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Finalmente, substituímos
pela expressão original para obter a derivada completa:
Resposta
A derivada de
para
é:
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Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(b)
(b)
Determine:
Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(d)
(d)
Determine:
(*Sugestão para o item (25): fazer
)