Considere a função definida por . Usando o exercício anterior encontre para . (Tal processo é conhecido como derivação logarítmica.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar a derivada da função usando derivação logarítmica. Isso faz parte do estudo de cálculo diferencial, especificamente sobre como derivar funções que são produtos ou quocientes de funções mais simples. A derivação logarítmica é útil aqui porque facilita a diferenciação quando temos potências e produtos.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação. Isso nos ajuda a simplificar a função usando propriedades dos logaritmos que transformam multiplicações em somas e potências em multiplicações, facilitando a derivação. Então, começamos com:

Passo 3

Agora, vamos usar as propriedades dos logaritmos para separar os termos. Lembre-se que e . Aplicando isso, temos:

Passo 4

Em seguida, vamos trazer os expoentes para frente dos logaritmos, usando a propriedade . Assim, a equação fica:

Passo 5

Agora, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a . Lembre-se que a derivada de é . Fazendo isso, obtemos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão da derivada:

Passo 7

Agora, isolamos multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Finalmente, substituímos pela expressão original para obter a derivada completa:

Resposta

A derivada de para é:

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Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(b)
Determine:
Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(d)
Determine: (*Sugestão para o item (25): fazer )