Determine:
Passo 1
Vamos determinar o limite quando
tende a mais infinito da expressão
. Aqui, estamos lidando com funções que envolvem raízes quadradas e limites no infinito, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial e integral. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão e entender o comportamento das suas partes conforme
cresce sem limite.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador:
. Quando
é muito grande, as adições dentro das raízes se tornam relativamente pequenas em comparação com
em si. Então, podemos simplificar cada raiz para entender melhor.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão interna
. Para valores grandes de
,
é bem menor que
, então
é aproximadamente
. Portanto,
.
Passo 4
Agora, substituindo essa aproximação no numerador original:
Assim, o numerador simplifica para aproximadamente
.
Passo 5
Vamos analisar o denominador:
. Para valores grandes de
, o
é insignificante comparado a
, então:
Passo 6
Agora, substituímos as aproximações do numerador e denominador na expressão original:
Resposta
O limite é
.
Exercícios relacionados
Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado.
.
Seja
uma função diferenciável e suponha que
para todo
.
Conclua que existe tal que
.
Conclua que existe
Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(b)
(b)
Considere a função definida por
. Usando o exercício anterior encontre
para
. (Tal processo é conhecido como derivação logarítmica.)