Determine:

Passo 1

Vamos determinar o limite quando tende a mais infinito da expressão . Aqui, estamos lidando com funções que envolvem raízes quadradas e limites no infinito, que fazem parte do estudo de cálculo diferencial e integral. Para resolver isso, vamos simplificar a expressão e entender o comportamento das suas partes conforme cresce sem limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador: . Quando é muito grande, as adições dentro das raízes se tornam relativamente pequenas em comparação com em si. Então, podemos simplificar cada raiz para entender melhor.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão interna . Para valores grandes de , é bem menor que , então é aproximadamente . Portanto, .

Passo 4

Agora, substituindo essa aproximação no numerador original:
Assim, o numerador simplifica para aproximadamente .

Passo 5

Vamos analisar o denominador: . Para valores grandes de , o é insignificante comparado a , então:

Passo 6

Agora, substituímos as aproximações do numerador e denominador na expressão original:

Resposta

O limite é .

Exercícios relacionados

Determine o conjunto dos pontos de acumulação do conjunto dado. .
Seja uma função diferenciável e suponha que para todo .
Conclua que existe tal que .
Mostre que as sequências abaixo são limitadas e monótonas. Descreva o tipo de monotocidade de cada uma delas.
(b)
Considere a função definida por . Usando o exercício anterior encontre para . (Tal processo é conhecido como derivação logarítmica.)